📌 Đề bài (Câu 2 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x – 1}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 3]$ bằng:
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định và tính đạo hàm
Hàm số $y = f(x) = \frac{x – 1}{x + 1}$ xác định và liên tục trên đoạn $[0; 3]$ (vì $x \neq -1 \notin [0; 3]$).
Ta có đạo hàm:
$$y’ = \frac{(x – 1)'(x + 1) – (x – 1)(x + 1)’}{(x + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x + 1) – 1 \cdot (x – 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2} > 0, \quad \forall x \in [0; 3]$$
Bước 2: Lập luận tính đơn điệu để tìm giá trị nhỏ nhất
Vì $y’ > 0$ với mọi $x \in [0; 3]$ nên hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 3]$.
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại điểm mút bên trái:
$$\min_{[0; 3]} y = y(0) = \frac{0 – 1}{0 + 1} = -1$$
Đồng thời, giá trị lớn nhất đạt tại mút bên phải: $\max_{[0; 3]} y = y(3) = \frac{3 – 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Đối với hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($ad – bc \neq 0$, $c \neq 0$) trên đoạn $[\alpha; \beta]$ không chứa điểm gián đoạn $x = -\frac{d}{c}$:
- Đạo hàm: $y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$.
- Dấu của $y’$ luôn cùng dấu với biểu thức $(ad – bc)$ và không đổi dấu trên từng khoảng xác định. Do đó hàm số không có cực trị và luôn đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên đoạn $[\alpha; \beta]$.
- Quy tắc tính nhanh: GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn $[\alpha; \beta]$ chỉ có thể là $y(\alpha)$ hoặc $y(\beta)$:
$$\min_{[\alpha; \beta]} y = \min\{y(\alpha), y(\beta)\}; \quad \max_{[\alpha; \beta]} y = \max\{y(\alpha), y(\beta)\}$$ - Bạn cũng có thể xem thêm dạng bài tương tự đối với hàm đa thức tại giá trị lớn nhất của hàm số bậc 3 trên đoạn.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x – 1}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 3]$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y’ = \frac{2}{(x + 1)^2} > 0, \forall x \in [0; 3]$. Do đó hàm số đồng biến trên $[0; 3] \Rightarrow \max_{[0; 3]} y = y(3) = \frac{3 – 1}{3 + 1} = \frac{1}{2}$.
Chọn A.
Bài tập 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2x + 1}{x – 2}$ trên đoạn $[3; 5]$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có $y’ = \frac{-5}{(x – 2)^2} < 0, \forall x \in [3; 5]$. Hàm số nghịch biến trên $[3; 5]$ nên $\min_{[3; 5]} y = y(5) = \frac{2(5) + 1}{5 - 2} = \frac{11}{3}$.
Chọn A.
Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x – 1}$ trên đoạn $[2; 4]$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tổng $M + m$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $y’ = \frac{-3}{(x – 1)^2} < 0, \forall x \in [2; 4]$. Hàm số nghịch biến trên $[2; 4]$.
Do đó $M = y(2) = \frac{2 + 2}{2 – 1} = 4$, $m = y(4) = \frac{4 + 2}{4 – 1} = 2$.
Vậy $M + m = 4 + 2 = 6$.
Chọn A.
Bài tập 4: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{3x – 1}{x + 2}$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $y’ = \frac{3(2) – (-1)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{7}{(x + 2)^2} > 0, \forall x \in [0; 2]$.
Hàm số đồng biến trên $[0; 2] \Rightarrow \max_{[0; 2]} y = y(2) = \frac{3(2) – 1}{2 + 2} = \frac{5}{4}$.
Chọn A.
Bài tập 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x – 3}{x + 2}$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có $y’ = \frac{1(2) – (-3)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2} > 0, \forall x \in [0; 4]$.
Hàm số đồng biến trên $[0; 4] \Rightarrow \min_{[0; 4]} y = y(0) = \frac{0 – 3}{0 + 2} = -\frac{3}{2}$.
Chọn A.
Để lại phản hồi