📌 Đề bài (Câu 15 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm Trả lời ngắn (SA – Điền kết quả số/giá trị ngắn)):
Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + m$. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ bằng $5$.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm điểm dừng trên đoạn $[-1; 1]$
Hàm số $y = f(x) = x^3 – 3x^2 + m$ liên tục trên $[-1; 1]$.
Ta có: $y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$.
Giải phương trình đạo hàm bằng 0:
$$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = 0 \in [-1; 1] \\& x = 2 \notin [-1; 1]\end{aligned}\right.$$
Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại các điểm xét
– Tại $x = -1$: $y(-1) = (-1)^3 – 3(-1)^2 + m = m – 4$.
– Tại $x = 0$: $y(0) = 0^3 – 3(0)^2 + m = m$.
– Tại $x = 1$: $y(1) = 1^3 – 3(1)^2 + m = m – 2$.
Bước 3: So sánh và tìm giá trị $m$
Vì $m – 4 < m - 2 < m$ nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ là:
$$\max_{[-1; 1]} y = y(0) = m$$
Theo yêu cầu bài toán, $\max_{[-1; 1]} y = 5 \Leftrightarrow m = 5$.
👉 Đáp án (kết quả điền số): 5
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm tham số $m$ thỏa mãn điều kiện về GTLN (hoặc GTNN) của hàm số $y = f(x, m)$ trên đoạn $[a; b]$:
- Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$ và giải phương trình $y’ = 0$ để tìm các nghiệm $x_i \in [a; b]$.
- Tính giá trị tại hai đầu mút và các nghiệm: $f(a), f(b), f(x_i)$. Tương tự như kỹ năng tính giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn.
- Biểu diễn $\max_{[a; b]} y$ hoặc $\min_{[a; b]} y$ theo $m$.
- Thiết lập phương trình với giá trị đề bài cho và giải tìm $m$. Bạn có thể tham khảo thêm dạng toán tìm tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt yêu cầu.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x + m$. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ bằng $6$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$y’ = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [0; 2]$ (nghiệm $x = -1$ loại).
Các giá trị: $y(0) = m$, $y(1) = m + 2$, $y(2) = m – 2$.
Giá trị lớn nhất là $\max_{[0; 2]} y = m + 2 = 6 \Leftrightarrow m = 4$.
Đáp án: 4
Bài tập 2: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + m – 1$. Tìm $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1; 3]$ bằng $-5$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$y’ = 3x^2 – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [1; 3]$ (nghiệm $x = 0$ loại).
Tính các giá trị: $y(1) = m – 3$, $y(2) = m – 5$, $y(3) = m – 1$.
Giá trị nhỏ nhất là $\min_{[1; 3]} y = m – 5$. Để $\min = -5 \Leftrightarrow m – 5 = -5 \Leftrightarrow m = 0$.
Đáp án: 0
Bài tập 3: Cho hàm số $y = x^4 – 2x^2 + m$. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ bằng $10$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$y’ = 4x^3 – 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 1 \in [0; 2]$ (nghiệm $x = -1$ loại).
Các giá trị: $y(0) = m$, $y(1) = m – 1$, $y(2) = m + 8$.
Giá trị lớn nhất là $\max_{[0; 2]} y = m + 8$. Cho $m + 8 = 10 \Leftrightarrow m = 2$.
Đáp án: 2
Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{x + m}{x + 1}$ trên đoạn $[1; 2]$. Tìm $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1; 2]$ bằng $2$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $y’ = \frac{1 – m}{(x+1)^2}$.
– Nếu $m = 1$: hàm số là hằng số $y = 1 \ne 2$ (loại).
– Nếu $m < 1 \Rightarrow y' > 0$: hàm số đồng biến, $\min_{[1; 2]} y = y(1) = \frac{1+m}{2} = 2 \Leftrightarrow m = 3$ (loại do $m < 1$).
– Nếu $m > 1 \Rightarrow y’ < 0$: hàm số nghịch biến, $\min_{[1; 2]} y = y(2) = \frac{2+m}{3} = 2 \Leftrightarrow m = 4$ (thỏa mãn $m > 1$).
Đáp án: 4
Bài tập 5: Cho hàm số $y = -x^3 – 3x^2 + m$. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ bằng $4$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Tương tự như cách khảo sát hàm bậc 3 trong bài khảo sát GTLN GTNN của hàm đa thức, ta có: $y’ = -3x^2 – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [-1; 1]$ ($x = -2$ loại).
Tính các giá trị: $y(-1) = m – 2$, $y(0) = m$, $y(1) = m – 4$.
Giá trị lớn nhất là $\max_{[-1; 1]} y = y(0) = m$. Theo đề bài $m = 4$.
Đáp án: 4
Để lại phản hồi