Một công ty dự định sản xuất một loại hộp sữa hình trụ có thể tích $V = 500\text{ cm}^3$. Gọi $r$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao hình trụ. Xét tính đúng sai:

Xét tính Đúng/Sai của từng mệnh đề:

• Ý a): Theo định nghĩa hình trụ tròn xoay, thể tích khối trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là $V = B \cdot h = \pi r^2 h$. Do đó ý a ĐÚNG.

• Ý b): Diện tích vỏ hộp sữa (diện tích toàn phần hình trụ gồm 2 đáy và diện tích xung quanh) là $S_{tp} = 2S_đ + S_{xq} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. Do đó ý b ĐÚNG.

• Ý c): Từ $V = \pi r^2 h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{500}{\pi r^2}$.
Thay vào công thức diện tích toàn phần, ta được hàm số theo biến $r > 0$:
$$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} = 2\pi r^2 + \frac{V}{r} + \frac{V}{r}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $2\pi r^2, \frac{V}{r}, \frac{V}{r}$:
$$S(r) \ge 3\sqrt[3]{2\pi r^2 \cdot \frac{V}{r} \cdot \frac{V}{r}} = 3\sqrt[3]{2\pi V^2}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$2\pi r^2 = \frac{V}{r} \Leftrightarrow 2\pi r^3 = V \Leftrightarrow 2\pi r^3 = \pi r^2 h \Leftrightarrow h = 2r$$
Như vậy, diện tích toàn phần nhỏ nhất khi chiều cao hình trụ bằng đường kính đáy ($h = 2r$). Do đó ý c ĐÚNG.

• Ý d): Khi diện tích toàn phần nhỏ nhất, ta có:
$$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} = \sqrt[3]{\frac{500}{2\pi}} = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx 4{,}30\text{ cm} \neq 10\text{ cm}$$
Do đó ý d SAI.

👉 Kết luận Đúng/Sai: a – Đúng | b – Đúng | c – Đúng | d – Sai (A, B, C đúng)