📌 Đề bài (Câu 8 – Vận dụng (VD) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Một xưởng sản xuất muốn làm một hộp hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $V = 4\text{ m}^3$ với đáy là hình vuông cạnh $x$. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp bằng:
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Cách 1: Sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số
Gọi $h$ là chiều cao của hộp hình hộp chữ nhật ($h > 0, x > 0$).
Thể tích của hộp là: $$V = x^2 \cdot h = 4 \Rightarrow h = \frac{4}{x^2}$$
Vì hộp không có nắp nên diện tích toàn phần của hộp gồm diện tích 1 mặt đáy và 4 mặt bên:
$$S(x) = S_{\text{đáy}} + S_{xq} = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{4}{x^2} = x^2 + \frac{16}{x}\quad (x > 0)$$
Xét hàm số $S(x) = x^2 + \frac{16}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$:
$$S'(x) = 2x – \frac{16}{x^2} = \frac{2x^3 – 16}{x^2}$$
Cho $S'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^3 – 16 = 0 \Leftrightarrow x^3 = 8 \Leftrightarrow x = 2$.
Bảng biến thiên:
- Với $x \in (0; 2) \Rightarrow S'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến).
- Với $x \in (2; +\infty) \Rightarrow S'(x) > 0$ (hàm số đồng biến).
Do đó, $\min_{(0; +\infty)} S(x) = S(2) = 2^2 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12\text{ m}^2$.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
Ta tách biểu thức: $$S(x) = x^2 + \frac{16}{x} = x^2 + \frac{8}{x} + \frac{8}{x}$$
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương $x^2, \frac{8}{x}, \frac{8}{x}$:
$$S(x) \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x}} = 3\sqrt[3]{64} = 3 \cdot 4 = 12\text{ m}^2$$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^2 = \frac{8}{x} \Leftrightarrow x^3 = 8 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn).
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Bài toán này thuộc dạng tối ưu hình học ứng dụng trong thực tế, tương tự như bài toán tối ưu diện tích hàng rào hoặc bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$.
- Bước 1: Biểu diễn đại lượng cần tối ưu (ở đây là diện tích toàn phần $S$) theo các biến của bài toán.
- Bước 2: Dựa vào giả thiết đã cho (thể tích $V$) để rút biến phụ theo biến chính, thu được hàm số một biến $S(x)$ với tập xác định $x \in (0; +\infty)$.
- Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất bằng cách tính đạo hàm $S'(x)$, lập bảng biến thiên hoặc khéo léo dùng BĐT AM-GM: $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{abc}$ (với $a, b, c > 0$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Một hộp không nắp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và có thể tích $V = 32\text{ m}^3$. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của chiếc hộp đó bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $h = \frac{32}{x^2} \Rightarrow S(x) = x^2 + \frac{128}{x} = x^2 + \frac{64}{x} + \frac{64}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{64}{x} \cdot \frac{64}{x}} = 3 \cdot 16 = 48\text{ m}^2$. Dấu “=” xảy ra khi $x = 4$.
👉 Đáp án đúng: B
Bài tập 2: Một thùng chứa hàng hình hộp chữ nhật CÓ NẮP ĐẬY, đáy là hình vuông, có thể tích bằng $8\text{ m}^3$. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của thùng chứa là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Hộp có cả hai đáy nên $S_{tp} = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + \frac{32}{x} = 2x^2 + \frac{16}{x} + \frac{16}{x} \ge 3\sqrt[3]{2x^2 \cdot \frac{16}{x} \cdot \frac{16}{x}} = 3\sqrt[3]{512} = 24\text{ m}^2$. (Đạt được khi $x = 2$, thùng trở thành hình lập phương).
👉 Đáp án đúng: A
Bài tập 3: Một xưởng cơ khí cần làm một thùng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $500\text{ cm}^3$, đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Diện tích tôn tối thiểu dùng để gò chiếc thùng là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Gọi chiều rộng đáy là $x$, chiều dài là $2x \Rightarrow V = 2x^2 h = 500 \Rightarrow h = \frac{250}{x^2}$.
Diện tích toàn phần: $S = 2x^2 + 2xh + 4xh = 2x^2 + 6xh = 2x^2 + \frac{1500}{x} = 2x^2 + \frac{750}{x} + \frac{750}{x} \ge 3\sqrt[3]{2 \cdot 750^2} = 300\text{ cm}^2$ (khi $x = 5\sqrt[3]{3^0} = 5$).
👉 Đáp án đúng: B
Bài tập 4: Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông từ một tấm tôn có diện tích $108\text{ cm}^2$. Thể tích lớn nhất mà chiếc hộp có thể đạt được là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $S = x^2 + 4xh = 108 \Rightarrow h = \frac{108 – x^2}{4x}$ (với $0 < x < \sqrt{108}$).
Thể tích: $V(x) = x^2 h = \frac{108x – x^3}{4}$. Đạo hàm $V'(x) = \frac{108 – 3x^2}{4} = 0 \Rightarrow x = 6$.
Khi đó $V_{\max} = V(6) = \frac{108 \cdot 6 – 6^3}{4} = 108\text{ cm}^3$.
👉 Đáp án đúng: A
Bài tập 5: Khi chiếc hộp chữ nhật không nắp có thể tích $V = 4\text{ m}^3$ và đáy hình vuông cạnh $x$ đạt diện tích toàn phần nhỏ nhất, tỉ số giữa chiều cao $h$ và cạnh đáy $x$ của hộp bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Từ lời giải câu 8, diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = 2\text{ m}$.
Chiều cao tương ứng: $h = \frac{4}{x^2} = \frac{4}{2^2} = 1\text{ m}$.
Tỉ số giữa chiều cao và cạnh đáy là: $\frac{h}{x} = \frac{1}{2}$.
👉 Đáp án đúng: A
Để lại phản hồi