📌 Đề bài (Câu 14 – Vận dụng (VD) – Trắc nghiệm Đúng/Sai (MSQ – Xét tính Đúng/Sai của 4 ý a, b, c, d)):
Cho hàm số $y = |x^2 – 4x + 3|$ trên đoạn $[0; 4]$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Khảo sát hàm số lõi $u(x) = x^2 – 4x + 3$ trên đoạn $[0; 4]$
– Đạo hàm: $u'(x) = 2x – 4$. Ta có $u'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [0; 4]$.
– Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành: $u(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x = 1 \in [0; 4]\\ &x = 3 \in [0; 4]\end{aligned}\right.$.
– Tính giá trị của $u(x)$ tại các điểm đặc biệt:
- Tại hai đầu mút: $u(0) = 3$, $u(4) = 3$.
- Tại điểm cực trị: $u(2) = 2^2 – 4 \cdot 2 + 3 = -1$.
- Tại các điểm làm hàm số bằng $0$: $u(1) = 0$, $u(3) = 0$.
Bước 2: Xác định giá trị của $y = |u(x)|$ trên $[0; 4]$
- $y(0) = |u(0)| = 3$
- $y(1) = |u(1)| = 0$
- $y(2) = |u(2)| = |-1| = 1$
- $y(3) = |u(3)| = 0$
- $y(4) = |u(4)| = 3$
Do $y = |u(x)| \ge 0, \forall x \in [0; 4]$ và $y(1) = y(3) = 0$ nên $\min_{[0; 4]} y = 0$ tại $x = 1$ và $x = 3$.
Giá trị lớn nhất: $\max_{[0; 4]} y = \max\{3, 0, 1, 0, 3\} = 3$, đạt được tại $x = 0$ và $x = 4$.
Bước 3: Xét tính đúng/sai của từng khẳng định:
- a) ĐÚNG: $\min_{[0; 4]} y = 0$.
- b) ĐÚNG: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 1$ và $x = 3$.
- c) ĐÚNG: $\max_{[0; 4]} y = 3$.
- d) SAI: Tại $x = 2$, hàm số đạt $y(2) = 1 \ne 3$ nên đây không phải là giá trị lớn nhất (đây là điểm cực đại địa phương của hàm $|u(x)|$).
👉 Kết luận Đúng/Sai: A – Đúng, B – Đúng, C – Đúng, D – Sai
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối $y = |u(x)|$ trên đoạn $[a; b]$, ta thực hiện các bước:
- Tìm các điểm $x_i \in (a; b)$ mà tại đó $u'(x_i) = 0$ hoặc $u(x_i) = 0$. Tương tự như phương pháp tìm cực trị trong bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm đa thức trên đoạn.
- Tính giá trị của $u(x)$ tại các đầu mút $a, b$ và các điểm $x_i$, gọi tập giá trị này là $S$.
- Lấy giá trị tuyệt đối của các phần tử trong $S$:
- Nếu $0$ nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $u(x)$ trên $[a; b]$ (tức là $u(x) = 0$ có nghiệm thuộc $[a; b]$) thì $\min_{[a; b]} |u(x)| = 0$.
- Giá trị lớn nhất: $\max_{[a; b]} |u(x)| = \max \{|u(x)| : x \in \{a, b, x_i\}\} = \max\{|\min u(x)|, |\max u(x)|\}$.
Dạng toán này rất thường gặp song song với các bài toán phân thức như khảo sát hàm số trên đoạn hoặc bài toán đại số GTLN và GTNN của hàm vô tỉ.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = |x^2 – 2x – 3|$ trên đoạn $[0; 4]$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Xét $u(x) = x^2 – 2x – 3$ trên $[0; 4]$: $u'(x) = 2x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [0; 4]$. $u(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3$ (nghiệm $x = -1 \notin [0; 4]$).
Tính các giá trị: $u(0) = -3 \Rightarrow |u(0)| = 3$; $u(1) = -4 \Rightarrow |u(1)| = 4$; $u(3) = 0 \Rightarrow |u(3)| = 0$; $u(4) = 5 \Rightarrow |u(4)| = 5$.
– $\min y = 0$ tại duy nhất $x = 3 \in [0; 4]$.
– $\max y = 5$ tại $x = 4$.
– Tại $x = 1$, $y(1) = |-4| = 4$.
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
Bài tập 2: Cho hàm số $y = |-x^2 + 6x – 5|$ trên đoạn $[0; 6]$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Đặt $u(x) = -x^2 + 6x – 5$. $u'(x) = -2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in [0; 6]$.
$u(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 5$ (cả hai đều thuộc $[0; 6]$).
Các giá trị: $u(0) = -5 \Rightarrow y(0) = 5$; $u(1) = 0 \Rightarrow y(1) = 0$; $u(3) = 4 \Rightarrow y(3) = 4$; $u(5) = 0 \Rightarrow y(5) = 0$; $u(6) = -5 \Rightarrow y(6) = 5$.
– $\min y = 0$ tại $x = 1, x = 5$ (2 điểm phân biệt).
– $\max y = 5$ tại $x = 0$ và $x = 6$ (chỉ 2 điểm phân biệt, không phải 3 điểm).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai (GTNN là $0$), c) Đúng, d) Sai (chỉ có $2$ điểm là $x = 0$ và $x = 6$).
Bài tập 3: Cho hàm số $y = |x^3 – 3x|$ trên đoạn $[-1; 2]$. Xét tính đúng sai của các khẳng định:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Xét $u(x) = x^3 – 3x$ trên $[-1; 2]$. $u'(x) = 3x^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Trong đó $x = 1 \in (-1; 2)$.
$u(x) = 0 \Leftrightarrow x(x^2 – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt{3}$ (thuộc $[-1; 2]$).
Tính giá trị: $u(-1) = 2 \Rightarrow y(-1) = 2$; $u(0) = 0 \Rightarrow y(0) = 0$; $u(1) = -2 \Rightarrow y(1) = 2$; $u(\sqrt{3}) = 0 \Rightarrow y(\sqrt{3}) = 0$; $u(2) = 2 \Rightarrow y(2) = 2$.
– $\min y = 0$ tại $x = 0$ và $x = \sqrt{3}$.
– $\max y = 2$ tại $x = -1, x = 1, x = 2$ (có $3$ điểm đạt GTLN).
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai (có 3 điểm đạt GTLN).
Bài tập 4: Cho hàm số $y = |x^2 – 2x + m|$ trên đoạn $[0; 3]$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Hàm số lõi $u(x) = x^2 – 2x + m$ có đỉnh tại $x = 1 \in [0; 3]$. $u(1) = m – 1, u(0) = m, u(3) = m + 3$.
– Với $m = 2$: $u(x) \in [1; 5] > 0 \Rightarrow y(x) = u(x) \Rightarrow \min = 1, \max = 5$ (a, b đúng).
– Với $m = -1$: $u(1) = -2, u(3) = 2 \Rightarrow u(x)$ đổi dấu trên $[0; 3] \Rightarrow \min |u(x)| = 0$ (c đúng).
– Để $\max y = 4 \Leftrightarrow \max\{|m-1|, |m+3|\} = 4$.
Trường hợp 1: $\begin{cases}|m+3| = 4 \\ |m-1| \le 4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m = 1 \text{ hoặc } m = -7 \\ -3 \le m \le 5\end{cases} \Rightarrow m = 1$.
Trường hợp 2: $\begin{cases}|m-1| = 4 \\ |m+3| \le 4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m = 5 \text{ hoặc } m = -3 \\ -7 \le m \le 1\end{cases} \Rightarrow m = -3$.
Do đó có 2 giá trị $m \in \{1; -3\}$, mệnh đề d sai.
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Bài tập 5: Cho hàm số $y = |2x^3 – 3x^2 + 1|$ trên đoạn $[-1; 1]$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Xét $u(x) = 2x^3 – 3x^2 + 1$ trên $[-1; 1]$:
$u'(x) = 6x^2 – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$.
$u(x) = (x – 1)^2(2x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -\frac{1}{2} \in [-1; 1]$.
Tính các giá trị:
– $u(-1) = 2(-1) – 3(1) + 1 = -4 \Rightarrow y(-1) = 4$.
– $u(0) = 1 \Rightarrow y(0) = 1$.
– $u\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \Rightarrow y\left(-\frac{1}{2}\right) = 0$.
– $u(1) = 0 \Rightarrow y(1) = 0$.
Suy ra $\min_{[-1; 1]} y = 0$ và $\max_{[-1; 1]} y = 4$.
Tổng $\max + \min = 4 + 0 = 4 \ne 5$.
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Để lại phản hồi