📌 Đề bài (Câu 12 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm Đúng/Sai (MSQ – Xét tính Đúng/Sai của 4 ý a, b, c, d)):
Cho hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 2]$. Xét tính đúng sai:
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Xét từng khẳng định:
- Ý a): Hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Do điểm gián đoạn $x = -1 \notin [0; 2]$ nên hàm số liên tục trên đoạn $[0; 2]$.
$\Rightarrow$ Mệnh đề a ĐÚNG. - Ý b): Đạo hàm của hàm số là $y’ = \frac{2 \cdot 1 – (-1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$.
Vì $y’ > 0, \forall x \in [0; 2]$ nên hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 2]$.
$\Rightarrow$ Mệnh đề b ĐÚNG. - Ý c): Do hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 2]$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại đầu mút $x = 0$:
$\min_{[0; 2]} y = y(0) = \frac{2(0) – 1}{0 + 1} = -1$.
$\Rightarrow$ Mệnh đề c ĐÚNG. - Ý d): Do hàm số đồng biến trên $[0; 2]$ nên giá trị lớn nhất đạt được tại $x = 2$:
$\max_{[0; 2]} y = y(2) = \frac{2(2) – 1}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1$.
$\Rightarrow$ Mệnh đề d ĐÚNG.
👉 Kết luận Đúng/Sai: A – Đúng, B – Đúng, C – Đúng, D – Đúng
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Đối với bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ trên đoạn $[\alpha; \beta]$ (với điều kiện nghiệm của mẫu $-\frac{d}{c} \notin [\alpha; \beta]$):
- Đạo hàm $y’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$ luôn mang dấu không đổi trên từng khoảng xác định ($y’ > 0$ hoặc $y’ < 0, \forall x$).
- Do đó hàm số luôn đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên đoạn $[\alpha; \beta]$.
- GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn $[\alpha; \beta]$ luôn luôn rơi vào 2 đầu mút: $\{y(\alpha), y(\beta)\}$.
- Các bạn có thể luyện thêm các bài toán khác như giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x – 1)/(x + 1) trên đoạn [0; 3] hoặc bài toán khảo sát đúng sai đa thức cho hàm số y = f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 1 trên đoạn [-2; 4].
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x – 1}$ trên đoạn $[2; 4]$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
+ a) Đúng vì $x = 1 \notin [2; 4]$.
+ b) Đúng vì $y’ = \frac{1(-1) – 2(1)}{(x – 1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0$.
+ c) Đúng vì nghịch biến nên $\max = y(2) = \frac{4}{1} = 4$.
+ d) Sai vì $\min = y(4) = \frac{6}{3} = 2$.
Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S
Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{3x – 1}{x + 2}$ trên đoạn $[0; 1]$. Xét tính đúng sai:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
+ a) Đúng: $y’ = \frac{3(2) – (-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{7}{(x+2)^2}$.
+ b) Sai: $y’ > 0$ nên hàm số đồng biến trên $[0; 1]$.
+ c) Đúng: $\min = y(0) = -\frac{1}{2}$.
+ d) Đúng: $\max = y(1) = \frac{2}{3}$.
Đáp án: a – Đ, b – S, c – Đ, d – Đ
Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{x – 3}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 3]$. Xét tính đúng sai:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
+ a) Đúng: $y’ = \frac{4}{(x+1)^2} > 0$.
+ b) Đúng: $\min = y(0) = -3$.
+ c) Đúng: $\max = y(3) = 0$.
+ d) Sai vì $\max + \min = 0 + (-3) = -3 \neq 3$.
Đáp án: a – Đ, b – Đ, c – Đ, d – S
Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{2x + 1}{x – 2}$ trên đoạn $[-1; 1]$. Xét tính đúng sai:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
+ a) Sai vì điểm gián đoạn $x = 2 \notin [-1; 1]$.
+ b) Đúng: $y’ = \frac{-5}{(x-2)^2} < 0$.
+ c) Đúng: $\max = y(-1) = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.
+ d) Đúng: $\min = y(1) = \frac{3}{-1} = -3$.
Đáp án: a – S, b – Đ, c – Đ, d – Đ
Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{-x + 2}{x + 1}$ trên đoạn $[1; 3]$. Xét tính đúng sai:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
+ a) Sai: $y’ = \frac{-3}{(x+1)^2} < 0$, hàm số nghịch biến.
+ b) Đúng: $\max = y(1) = \frac{1}{2}$.
+ c) Đúng: $\min = y(3) = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$.
+ d) Sai: Hàm số bậc nhất/bậc nhất không có điểm cực trị.
Đáp án: a – S, b – Đ, c – Đ, d – S
Để lại phản hồi