📌 Đề bài (Câu 16 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm Trả lời ngắn (SA – Điền kết quả số/giá trị ngắn)):
Tính tổng giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = x + \frac{9}{x}$ trên đoạn $[1; 4]$.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Xét hàm số $y = f(x) = x + \frac{9}{x}$ liên tục trên đoạn $[1; 4]$.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số:
$$y’ = 1 – \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 – 9}{x^2}$$
Giải phương trình đạo hàm bằng 0 trên khoảng $(1; 4)$:
$$y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \quad (\text{do } x \in [1; 4])$$
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm dừng:
– Tại $x = 1$: $y(1) = 1 + \frac{9}{1} = 10$
– Tại $x = 3$: $y(3) = 3 + \frac{9}{3} = 6$
– Tại $x = 4$: $y(4) = 4 + \frac{9}{4} = 6{,}25$
Bước 4: So sánh các giá trị tính được:
– Giá trị lớn nhất: $M = \max_{[1; 4]} y = y(1) = 10$
– Giá trị nhỏ nhất: $m = \min_{[1; 4]} y = y(3) = 6$
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là: $$M + m = 10 + 6 = 16$$
👉 Đáp án (kết quả điền số): 16
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Quy trình tìm giá trị lớn nhất ($M$) và giá trị nhỏ nhất ($m$) của hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$:
- Tính đạo hàm $f'(x)$.
- Tìm các nghiệm $x_i \in (a; b)$ của phương trình $f'(x) = 0$ hoặc các điểm làm cho đạo hàm không xác định.
- Tính các giá trị $f(a), f(b), f(x_i)$.
- Kết luận: $M = \max\{f(a), f(b), f(x_i)\}$ và $m = \min\{f(a), f(b), f(x_i)\}$.
Bài viết liên quan: Bạn có thể tham khảo thêm bài toán Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ hoặc rèn luyện dạng bài tính tích $M \cdot m$ của hàm số chứa căn thức.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn)
Bài tập 1: Tính giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn $[1; 3]$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$y’ = 1 – \frac{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [1; 3]$.
$y(1) = 5$, $y(2) = 4$, $y(3) = \frac{13}{3} \approx 4{,}33$. Do đó $M = 5$.
Đáp số: 5
Bài tập 2: Cho hàm số $y = x + \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$. Tính tích giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$y’ = 1 – \frac{1}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [1/2; 2]$.
$y(1/2) = 2{,}5$, $y(1) = 2$, $y(2) = 2{,}5$.
Suy ra $M = 2{,}5$; $m = 2 \Rightarrow M \cdot m = 2{,}5 \cdot 2 = 5$.
Đáp số: 5
Bài tập 3: Tính tổng giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = x + \frac{16}{x}$ trên đoạn $[2; 8]$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$y’ = 1 – \frac{16}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 4 \in [2; 8]$.
$y(2) = 10$, $y(4) = 8$, $y(8) = 10$.
Do đó $M = 10, m = 8 \Rightarrow M + m = 18$.
Đáp số: 18
Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = x^2 + \frac{16}{x}$ trên đoạn $[1; 3]$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$y’ = 2x – \frac{16}{x^2} = \frac{2x^3 – 16}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = 8 \Leftrightarrow x = 2 \in [1; 3]$.
$y(1) = 17$, $y(2) = 4 + 8 = 12$, $y(3) = 9 + \frac{16}{3} = \frac{43}{3} \approx 14{,}33$.
Suy ra $m = \min_{[1; 3]} y = 12$.
Đáp số: 12
Bài tập 5: Tính giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = 2x + \frac{8}{x}$ trên đoạn $[1; 4]$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
$y’ = 2 – \frac{8}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [1; 4]$.
$y(1) = 10$, $y(2) = 8$, $y(4) = 10$.
Suy ra $M = \max_{[1; 4]} y = 10$.
Đáp số: 10
Để lại phản hồi