Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x + \sqrt{4 – x^2}$. Tích $M \cdot m$ bằng:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Điều kiện xác định: $4 – x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x \le 2$.

Do đó, tập xác định của hàm số là đoạn $D = [-2; 2]$.

Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm trên khoảng $(-2; 2)$

Ta có: $$y’ = (x)’ + \left(\sqrt{4 – x^2}\right)’ = 1 + \frac{(4 – x^2)’}{2\sqrt{4 – x^2}} = 1 – \frac{x}{\sqrt{4 – x^2}}$$

Giải phương trình $y’ = 0$ trên $(-2; 2)$:

$$1 – \frac{x}{\sqrt{4 – x^2}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 – x^2} = x \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ 4 – x^2 = x^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ 2x^2 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow x = \sqrt{2} \in (-2; 2)$$

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt

• Tại $x = -2$: $y(-2) = -2 + \sqrt{4 – (-2)^2} = -2$
• Tại $x = 2$: $y(2) = 2 + \sqrt{4 – 2^2} = 2$
• Tại $x = \sqrt{2}$: $y(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{4 – (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Bước 4: Kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và tích $M \cdot m$

So sánh các giá trị tính được:

Giá trị lớn nhất: $M = \max_{[-2; 2]} y = 2\sqrt{2}$ (đạt tại $x = \sqrt{2}$).

Giá trị nhỏ nhất: $m = \min_{[-2; 2]} y = -2$ (đạt tại $x = -2$).

Vậy tích $M \cdot m = 2\sqrt{2} \cdot (-2) = -4\sqrt{2}$.

👉 Chọn đáp án: A