📌 Đề bài (Câu 3 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^4 + 4x^2 + 1$ trên đoạn $[-1; 2]$ bằng:
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tập xác định và đạo hàm
Hàm số $y = -x^4 + 4x^2 + 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và xác định trên đoạn $[-1; 2]$.
Đạo hàm: $y’ = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 – 2)$.
Bước 2: Tìm các nghiệm của $y’ = 0$ thuộc đoạn $[-1; 2]$
$$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{2} \\ x = -\sqrt{2} \end{array}\right.$$
So sánh với đoạn $[-1; 2]$, ta thấy: $0 \in [-1; 2]$ và $\sqrt{2} \in [-1; 2]$, còn $-\sqrt{2} \approx -1.414 \notin [-1; 2]$ (loại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút
- $y(-1) = -(-1)^4 + 4(-1)^2 + 1 = -1 + 4 + 1 = 4$
- $y(0) = -(0)^4 + 4(0)^2 + 1 = 1$
- $y(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$
- $y(2) = -(2)^4 + 4(2)^2 + 1 = -16 + 16 + 1 = 1$
Bước 4: Kết luận
So sánh các giá trị tính được: $\max_{[-1; 2]} y = 5$ đạt được tại $x = \sqrt{2}$ và $\min_{[-1; 2]} y = 1$ đạt được tại $x = 0$ hoặc $x = 2$.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$:
- Tính đạo hàm $f'(x)$.
- Tìm các điểm $x_1, x_2, \dots, x_n \in (a; b)$ mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
- Tính các giá trị $f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_n)$.
- Số lớn nhất trong các giá trị trên là $\max_{[a; b]} f(x)$, số nhỏ nhất là $\min_{[a; b]} f(x)$.
Mẹo: Học sinh có thể tham khảo thêm dạng toán giá trị lớn nhất của hàm số bậc ba trên đoạn hoặc phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của hàm phân thức để nắm vững quy tắc xử lý.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 1; x = -1$.
Trên đoạn $[0; 2]$, ta nhận $x = 0, x = 1$.
Tính các giá trị: $y(0) = 3$, $y(1) = 2$, $y(2) = 11$.
Do đó $\max_{[0; 2]} y = 11$ tại $x = 2$.
👉 Đáp án: A
Bài tập 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 5$ trên đoạn $[-2; 2]$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có $y’ = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm 1$ (đều thuộc $[-2; 2]$).
Tính các giá trị: $y(-2) = -3$, $y(-1) = 6$, $y(0) = 5$, $y(1) = 6$, $y(2) = -3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất $\min_{[-2; 2]} y = -3$ tại $x = \pm 2$.
👉 Đáp án: C
Bài tập 3: Tổng giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 – 4x^2 + 1$ trên đoạn $[0; \sqrt{3}]$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $y’ = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = \sqrt{2}, x = -\sqrt{2}$.
Trên đoạn $[0; \sqrt{3}]$, các nghiệm thuộc đoạn là $x = 0$ và $x = \sqrt{2}$.
Tính giá trị: $y(0) = 1$, $y(\sqrt{2}) = 4 – 8 + 1 = -3$, $y(\sqrt{3}) = 9 – 12 + 1 = -2$.
Suy ra $M = \max = 1$ và $m = \min = -3$. Tổng $M + m = 1 + (-3) = -2$. Tham khảo thêm dạng bài tương tự tại bài viết về khảo sát hàm số trùng phương.
👉 Đáp án: A
Bài tập 4: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^4 + 8x^2 – 5$ trên đoạn $[1; 3]$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $y’ = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 – 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2, x = -2$.
Trên đoạn $[1; 3]$, chỉ có $x = 2$ thỏa mãn.
Tính các giá trị: $y(1) = 2$, $y(2) = -16 + 32 – 5 = 11$, $y(3) = -81 + 72 – 5 = -14$.
Vậy giá trị lớn nhất là 11 tại $x = 2$.
👉 Đáp án: B
Bài tập 5: Cho hàm số $f(x) = x^4 – 8x^2 + 16$. Điểm $x_0 \in [-1; 3]$ để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-1; 3]$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có $f'(x) = 4x^3 – 16x = 4x(x^2 – 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2, x = -2$.
Nghiệm thuộc $[-1; 3]$ gồm $x = 0$ và $x = 2$.
Tính các giá trị: $f(-1) = 9$, $f(0) = 16$, $f(2) = 0$, $f(3) = 25$.
Giá trị nhỏ nhất $\min_{[-1; 3]} f(x) = 0$ đạt được tại điểm $x_0 = 2$.
👉 Đáp án: B
Để lại phản hồi