Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{x – 1} + \sqrt{5 – x}$ bằng:

Cách 1: Phương pháp đạo hàm (Khảo sát hàm số)

• Bước 1: Tìm tập xác định.
Điều kiện xác định: $\begin{cases} x – 1 \ge 0 \\ 5 – x \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \le x \le 5$.
Do đó, tập xác định của hàm số là $D = [1; 5]$.

• Bước 2: Tính đạo hàm $y’$ trên khoảng $(1; 5)$:
$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x – 1}} – \frac{1}{2\sqrt{5 – x}}$$

• Bước 3: Giải phương trình $y’ = 0$:
$$y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x – 1}} = \frac{1}{2\sqrt{5 – x}} \Leftrightarrow \sqrt{x – 1} = \sqrt{5 – x} \Leftrightarrow x – 1 = 5 – x \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3 \in (1; 5)$$

• Bước 4: Tính các giá trị tại điểm tới hạn và hai đầu mút:
$$y(1) = \sqrt{1 – 1} + \sqrt{5 – 1} = 2$$
$$y(5) = \sqrt{5 – 1} + \sqrt{5 – 5} = 2$$
$$y(3) = \sqrt{3 – 1} + \sqrt{5 – 3} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

• So sánh các giá trị, ta có: $\max_{[1; 5]} y = 2\sqrt{2}$ đạt được tại $x = 3$.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy-Schwarz)

Với mọi $x \in [1; 5]$, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số $(1; 1)$ và $(\sqrt{x – 1}; \sqrt{5 – x})$:
$$y^2 = (1 \cdot \sqrt{x – 1} + 1 \cdot \sqrt{5 – x})^2 \le (1^2 + 1^2)\left[(\sqrt{x – 1})^2 + (\sqrt{5 – x})^2\right]$$
$$\Leftrightarrow y^2 \le 2(x – 1 + 5 – x) = 2 \times 4 = 8$$
Vì $y > 0$ nên suy ra $y \le \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{\sqrt{x – 1}}{1} = \frac{\sqrt{5 – x}}{1} \Leftrightarrow x – 1 = 5 – x \Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn $x \in [1; 5]$).

👉 Chọn đáp án: A