Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $12\text{ cm}$, người ta cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ cạnh $x$ ở 4 góc rồi gấp lại thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ (cm) để thể tích chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất.

Bước 1: Xác định kích thước của chiếc hộp theo $x$

– Sau khi cắt bỏ ở mỗi góc một hình vuông cạnh $x$, đáy của chiếc hộp là hình vuông có độ dài cạnh là $12 – 2x$ (cm).

– Chiều cao của chiếc hộp sau khi gấp lên là $h = x$ (cm).

– Điều kiện hình học của biến $x$: Chiều dài các cạnh phải dương nên $x > 0$ và $12 – 2x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 6$.

Bước 2: Lập hàm thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích $V$ của chiếc hộp là:

$$V(x) = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = (12 – 2x)^2 \cdot x = 4x(6 – x)^2$$

Cách 1: Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Khai triển: $V(x) = x(144 – 48x + 4x^2) = 4x^3 – 48x^2 + 144x$ trên khoảng $(0; 6)$.

Tính đạo hàm:

$$V'(x) = 12x^2 – 96x + 144 = 12(x^2 – 8x + 12)$$

Cho $V'(x) = 0 \Leftrightarrow 12(x – 2)(x – 6) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 2 \in (0; 6) \\ &x = 6 \notin (0; 6) \end{aligned}\right.$$

Bảng biến thiên:

• Với $x \in (0; 2)$: $V'(x) > 0 \implies V(x)$ đồng biến.
• Với $x \in (2; 6)$: $V'(x) < 0 \implies V(x)$ nghịch biến.

Do đó, hàm số $V(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm $x = 2$. Thể tích lớn nhất tương ứng là $V(2) = 2 \cdot (12 – 4)^2 = 128\text{ cm}^3$.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho 3 số dương

Biến đổi: $V(x) = 4x(6 – x)(6 – x) = 2 \cdot [2x(6 – x)(6 – x)]$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương $2x, 6 – x, 6 – x$:

$$2x \cdot (6 – x) \cdot (6 – x) \le \left(\frac{2x + 6 – x + 6 – x}{3}\right)^3 = \left(\frac{12}{3}\right)^3 = 4^3 = 64$$

Suy ra $V(x) \le 2 \cdot 64 = 128$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$$2x = 6 – x \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2\text{ (thỏa mãn } 0 < x < 6\text{)}$$

👉 Đáp án (kết quả điền số): 2