Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ { – 2024;2024} \right]\) sao cho ứng với mỗi  m, hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} + 4x + m + 1}}{{4x + m}}\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {2;4} \right)\)?

A. \(2024\).

 B. \(2023\).

 C. \(3\).

 D. \(4\).

Lời giải:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ – m}}{4}} \right\}\).

Ta có \(y’ = \frac{{ – 4{x^2} – 2mx – 4}}{{{{\left( {4x + m} \right)}^2}}}\).

Xét\(y’ = 0 \Leftrightarrow  – 4{x^2} – 2mx – 4 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 = 0\). (1)

Để hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} + 4x + m + 1}}{{4x + m}}\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {2;4} \right)\)thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt và chỉ một nghiệm thuộc \(\left( {2;4} \right)\).

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (*)

Ta có \(2{x^2} + mx + 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + \frac{2}{x} =  – m,\forall x \in \left( {2;4} \right)\).

Xét  hàm \(g\left( x \right) = 2x + \frac{2}{x} \Rightarrow g’\left( x \right) = 2 – \frac{2}{{{x^2}}} > 0,\forall x \in \left( {2;4} \right);\)

BBT hàm g(x) trên \(\left( {2;4} \right)\).

Từ BBT suy ra (1) chỉ một nghiệm thuộc \(\left( {2;4} \right)\)khi \(5 < m < 8,5\). Kết hợp điều kiện (*) 

Suy ra \(m \in \left\{ {6;7;8} \right\}\). Vậy có 3 giá trị nguyên của m.