Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + m}}{{x – 1}}\), (\(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có hai cực trị \(a,\,b\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 10\).

   Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + m}}{{x – 1}}\), (\(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có hai cực trị \(a,\,b\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 10\).

A. \(m =  – 3\).

 B. \(m = 2\).

 C. \(m = \frac{7}{2}\).

 D. \(m = 1\)

Lời giải:

Ta có \(y’ = \frac{{{x^2} – 2x – m – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\), \(\left( {x \ne 1} \right)\)

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình \(f(x) = {x^2} – 2x – m – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ = m + 2 > 0\\f(1) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  – 2\\m \ne  – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m >  – 2\).

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là \(y = 2x + 1\)

Gọi \({x_1},\,{x_2}\) là hoành độ hai điểm cực trị.

Áp dụng định lí  Vi – ét ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} =  – m – 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài \({a^2} + {b^2} = 10 \Leftrightarrow {\left( {2{x_1} + 1} \right)^2} + {\left( {2{x_2} + 1} \right)^2} = 10\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 = 42\\ \Leftrightarrow 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 8{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 40 = 0\\ \Leftrightarrow 16 – 8\left( { – m – 1} \right) + 8 – 40 = 0\\ \Leftrightarrow m = 1.\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện ta thấy  thỏa mãn.

Vậy \(m = 1\) thỏa mãn đề bài.

===========
Đây là các câu File: Câu 40 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ TĂNG – GIẢM TRÊN KHOẢNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024