Cho hàm số \(y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)x + 2020\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

A. \(2\).

 B. \(1\).

 C. 4.

 D. \(3\).

Lời giải:

Ta có \(y’ = 3{x^2} – 6mx + 3\left( {{m^2} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = m – 1\\{x_2} = m + 1\end{array} \right.\).

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \({x_1} \le 0 < {x_2}\) hoặc \(0 < {x_1} < {x_2}\).

TH1: \({x_1} \le 0 < {x_2}\)\( \Leftrightarrow m – 1 \le 0 < m + 1\)\( \Leftrightarrow  – 1 < m \le 1\). Do \(m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}\).

BBT của hàm số:

TH2: \(0 < {x_1} < {x_2}\).

BBT của hàm số

Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m – 1 > 0\\y\left( {m + 1} \right) \le y\left( 0 \right)\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^3} – 3m{\left( {m + 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)\left( {m + 1} \right) + 2020 \le 2020\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^2}\left( {m – 2} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 2\\m =  – 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m \le 2\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m = 2\).

Vậy \(m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).