Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { – 2022;2022} \right)\) để hàm số\(y = \left| {{x^3} + \left( {2m + 1} \right)x – 2} \right|\) đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\)?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { – 2022;2022} \right)\) để hàm số\(y = \left| {{x^3} + \left( {2m + 1} \right)x – 2} \right|\) đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\)?

A.\(4034\).

 B. \(2022\).

 C. \(4030\).

 D. \(4032\).

Lời giải:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {2m + 1} \right)x – 2\)

\(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2m + 1\)

Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\) khi và chỉ khi xảy ra 2 trường hợp sau:

TH1: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\) và \(f\left( 1 \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) \ge 0{\rm{  }}\forall x \in \left( {1;3} \right)\\f\left( 1 \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2m + 1 \ge 0{\rm{  }}\forall x \in \left( {1;3} \right)\\2m \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 \ge  – 3{x^2}{\rm{  }}\forall x \in \left( {1;3} \right)\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 \ge  – 3\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 0.\end{array}\)

TH2: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\) và \(f\left( 1 \right) \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) \le 0{\rm{  }}\forall x \in \left( {1;3} \right)\\f\left( 1 \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2m + 1 \le 0{\rm{  }}\forall x \in \left( {1;3} \right)\\2m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 \le  – 3{x^2}{\rm{  }}\forall x \in \left( {1;3} \right)\\m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 \le  – 27\\m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  – 14.\end{array}\)

Kết hợp 2 trường hợp ta có \(m \le  – 14\) hoặc \(m \ge 0\).

Mà \(m \in \left( { – 2022;2022} \right)\) nên có 4030 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

===========
Đây là các câu File: Câu 40 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ TĂNG – GIẢM TRÊN KHOẢNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024