Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x – 1}}\) (với \(m\)là thàm số thực) thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} y = 3\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x – 1}}\) (với \(m\)là thàm số thực) thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} y = 3\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( – 1 < m \le 3\).

 B. \(4 \le m < 6\).

 C. \(m > 6\).

 D. \(m <  – 1\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). 

Ta có \(y’ = \frac{{ – 1 – m}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\),\(\forall x \ne 1\)

– Nếu \( – 1 – m > 0 \Leftrightarrow m <  – 1\) thì \(y’ > 0,\forall x \ne 1\) nên hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\).

Do đó  \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} y = y(2) = \frac{{2 + m}}{{2 – 1}} = m + 2\). 

Suy ra \(m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\) (không thỏa mãn vì \(m <  – 1\)).

– Nếu \( – 1 – m < 0 \Leftrightarrow m >  – 1\) thì \(y’ < 0,\forall x \ne 1\) nên hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} y = y(5) = \frac{{5 + m}}{{5 – 1}} = \frac{{m + 5}}{4}\). 

Suy ra  \(\frac{{m + 5}}{4} = 3 \Leftrightarrow m = 7\) (thỏa mãn vì \(m >  – 1\)).

Vậy \(m = 7\).

===========
Đây là các câu File: Câu 40 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ TĂNG – GIẢM TRÊN KHOẢNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024