Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 2024;\,2024} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{{{\cot }^2}x – 2m\cot x + 2{m^2} – 1}}{{\cot x – m}}\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2}} \right)\) ?

 Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 2024;\,2024} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{{{\cot }^2}x – 2m\cot x + 2{m^2} – 1}}{{\cot x – m}}\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2}} \right)\) ?

A. 2024.

 B. 2025.

 C. 2026.

 D. 2023.

Lời giải:

Đặt \(t = \cot x\). Ta có \(x \in \left( {\frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(t \in \left( {0;\,\,1} \right)\), \(t = \cot x\)là hàm nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

Khi đó, bài toán trở thành tìm tham số \(m\)nguyên để hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 2mt + 2{m^2} – 1}}{{t – m}}\) đồng biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right)\).

Tập xác định của hàm số \(y = f\left( t \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 2mt + 1}}{{{{\left( {t – m} \right)}^2}}}\).

Hàm số \(y = f\left( t \right)\)đồng biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right)\) khi và chỉ khi \(f’\left( t \right) \ge 0,\,\forall t \in \left( {0;\,1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} – 2mt + 1 \ge 0,\,\forall t \in \left( {0;\,1} \right)\\m \notin \left( {0;\,1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}},\,\forall t \in \left( {0;\,1} \right)\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(y = g\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}}\) trên khoảng \(\left( {0;\,\,1} \right)\).

Khi đó \(g’\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 1}}{{2{t^2}}} < 0,\,\forall t \in \left( {0;\,1} \right)\) nên hàm số \(y = g\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\,\,1} \right)\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le g\left( 1 \right)\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m = 1\end{array} \right.\).

Mà \(m\) là số nguyên và thuộc đoạn \(\left[ { – 2024;\,2024} \right]\) nên có 2026 giá trị của \(m\) thoả mãn.

===========
Đây là các câu File: Câu 40 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ TĂNG – GIẢM TRÊN KHOẢNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024