Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 2;25} \right]\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 5x – m – 1}}{{5x – m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 2;25} \right]\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 5x – m – 1}}{{5x – m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\).

A. \(8\).

 B. \(15\).

 C. \(14\).

 D. \(6\).

Lời giải:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{m}{5}} \right\}\).

Ta có \(y’ = \frac{{5{x^2} – 2mx + 5}}{{{{\left( {5x – m} \right)}^2}}}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\) thì \(y’ \le 0,\forall x \in \left( {1;4} \right)\).

tức là \(\left\{ \begin{array}{l}5{x^2} – 2mx + 5 \le 0,\forall x \in \left( {1;4} \right)\\x \ne \frac{m}{5},\forall x \in \left( {1;4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{{5{x^2} + 5}}{{2x}},\forall x \in \left( {1;4} \right)\,\,\,\left( {Do\,\,2x > 0,\forall x \in \left( {1;4} \right)} \right)\\\left[ \begin{array}{l}\frac{m}{5} \le 1\\\frac{m}{5} \ge 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{5{x^2} + 5}}{{2x}},\forall x \in \left[ {1;4} \right]\).

Ta có \(g’\left( x \right) = \frac{{5{x^2} – 5}}{{2{x^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\). Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;4} \right)\).

Suy ra \(\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 4 \right) = \frac{{85}}{8}\).

Khi đó, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{{5{x^2} + 5}}{{2x}},\forall x \in \left( {1;4} \right)\\\left[ \begin{array}{l}\frac{m}{5} \le 1\\\frac{m}{5} \ge 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{{85}}{8}\\\left[ \begin{array}{l}m \le 5\\m \ge 20\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 20\).

Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { – 2;25} \right]\) nên \(m \in \left\{ {20;21;22;23;24;25} \right\}\).

Vậy có \(6\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 2;25} \right]\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

===========
Đây là các câu File: Câu 40 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ TĂNG – GIẢM TRÊN KHOẢNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024