Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \((C)\). Biết \(y = ax + b\) là phương trình tiếp tuyến của \((C)\) có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm là số nguyên dương. Tính \(S = 5a + 4b\).

 Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \((C)\). Biết \(y = ax + b\) là phương trình tiếp tuyến của \((C)\) có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm là số nguyên dương. Tính \(S = 5a + 4b\).

A. \( – 29\).

 B. \(9\).

 C. \( – 9\).

 D. \(29\).

Lời giải:

Ta có \(y’ = f’\left( x \right) = \frac{{ – 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\left( {{x_0} ; {y_0}} \right) \in  (C)\), \(\left( {{x_0} \ne 1 } \right)\) có dạng 

\(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\).                       

Hệ số góc tiếp tuyến: \(k = f’\left( {{x_0}} \right) = \frac{{ – 3}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {{x_0} – 1} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất mà \({x_0}\) là số nguyên dương khác 1 nên \({x_0} = 2\) thỏa mãn yêu cầu.

Suy ra phương trình tiếp tuyến là: \(y =  – 3\left( {x – 2} \right) + 5 \Leftrightarrow y =  – 3x + 11\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a =  – 3\\b = 11\end{array} \right. \Rightarrow S = 5.\left( { – 3} \right) + 4.11 = 29\).

===========
Đây là các câu File: Câu 40 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ TĂNG – GIẢM TRÊN KHOẢNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024