Có bao nhiêu số nguyên của tham số\(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – mx – \frac{7}{5}\) luôn có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { – 3;3} \right)\)?

A. 1.

 B. 2.

 C. 3.

 D. 4.

Lời giải:

\(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – mx – \frac{7}{5}\) có \(y’ = {x^2} – 2x – m\), cho \(y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x = m\).

Để hàm số luôn có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { – 3;3} \right)\) thì phương trình \({x^2} – 2x = m\) có hai nghiệm thuộc  \(\left( { – 3;3} \right)\), đặt \(g\left( x \right) = {x^2} – 2x\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) như sau:

Suy ra \( – 1 < m < 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy có 3 giá trị \(m\) thỏa mãn.