Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 2mx + x – m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để  hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 – 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 2;3} \right)\)?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 2mx + x – m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để  hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 – 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 2;3} \right)\)?

A. \(0\).

 B. \(1\).

 C. \(2\).

 D. Vô số.

Lời giải:

Chọn A

Ta có

 \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^3} – 2mx + x – m\\ \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( {1 – 2x} \right) = {\left( {1 – 2x} \right)^3} – 2m\left( {1 – 2x} \right) + \left( {1 – 2x} \right) – m\\ \Rightarrow g\left( x \right) =  – 8{x^3} + 12{x^2} + 4\left( {m – 2} \right)x + 2 – 3m\\ \Rightarrow g’\left( x \right) =  – 24{x^2} + 24x + 4\left( {m – 2} \right)\end{array}\).

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 – 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 2;3} \right)\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow g’\left( x \right) \le 0;\forall x \in \left( { – 2;3} \right)\\ \Leftrightarrow  – 24{x^2} + 24x + 4\left( {m – 2} \right) \le 0;\forall x \in \left( { – 2;3} \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} – 6x + 2 \ge m;\forall x \in \left( { – 2;3} \right)\\ \Leftrightarrow 6{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge m;\forall x \in \left( { – 2;3} \right)\end{array}\)

\(do:\left\{ \begin{array}{l}6{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2};\forall x \in \left( { – 2;3} \right)\\6{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{\rm{ }}khi{\rm{ }}x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

 Nên \(6{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}\)  đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{1}{2}\) suy ra \(m \le \frac{1}{2}\)

Mà \(m\)nguyên dương _.

Vậy không số nguyên dương \(m\) thỏa mãn.

===========
Đây là các câu File: Câu 40 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ TĂNG – GIẢM TRÊN KHOẢNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024