Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng đồ thị hàm \(y = f’\left( x \right)\)được cho như hình vẽ bên.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = 3f\left( {2x + 1} \right) – 8{x^3} – 12{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\) bằng:

   Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng đồ thị hàm \(y = f’\left( x \right)\)được cho như hình vẽ bên.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = 3f\left( {2x + 1} \right) – 8{x^3} – 12{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\) bằng:

A. \(3f\left( { – 1} \right) – 2\).

 B. \(3f\left( 0 \right)\).

 C. \(3f\left( 3 \right) – 18\).

 D. \(3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).

Lời giải:

Ta có: \(g\left( x \right) = 3f\left( {2x + 1} \right) – 8{x^3} – 12{x^2} + 2 = 3f\left( {2x + 1} \right) – {\left( {2x + 1} \right)^3} + 3\left( {2x + 1} \right)\).=

Đặt \(t = 2x + 1\), \(x \in \left[ { – 1;1} \right]\) nên \(t \in \left[ { – 1;3} \right]\). Khi đó: \(g\left( t \right) = 3f\left( t \right) – {t^3} + 3t\).

Suy ra: \(g’\left( t \right) = 3f’\left( t \right) – 3{t^2} + 3 = 3\left( {f’\left( t \right) – {t^2} + 1} \right)\).

\(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3f’\left( t \right) – 3{t^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow f’\left( t \right) = {t^2} – 1\).

Ta vẽ thêm đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 1\) (nét đứt) chung hệ trục với hàm \(f’\left( x \right)\) như sau:

\(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  – \sqrt 3 \, \vee t = 0 \vee t = \sqrt 3 \)

Bảng biến thiên của \(g\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\)

Nhìn vào bảng biến thiên ta có: GTNN của hàm số\(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\) bằng  GTNN của hàm số \(g\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\) và bằng  \(3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).