Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu số nguyên dương \(m < 2024\)để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { – {x^2} – 2x + m} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\)?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu số nguyên dương \(m < 2024\)để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { – {x^2} – 2x + m} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\)?

A. \(2014\).

 B. \(2015\).

 C. \(2013\).

 D. \(2016\).

Lời giải:

Ta có \(g’\left( x \right) = {\left( { – {x^2} – 2x + m} \right)^\prime }f’\left( { – {x^2} – 2x + m} \right) =  – 2\left( {x + 1} \right)f’\left( { – {x^2} – 2x + m} \right)\).

Hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\)khi và chỉ khi \(g’\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {2;3} \right)\)

 \( \Leftrightarrow  – 2\left( {x + 1} \right)f’\left( { – {x^2} – 2x + m} \right) \le 0,\forall x \in \left( {2;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow f’\left( { – {x^2} – 2x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2;3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – {x^2} – 2x + m \le 0 & \left( 1 \right)\\ – {x^2} – 2x + m \ge 3 & \left( 2 \right)\end{array} \right.,\forall x \in \left( {2;3} \right)\left( * \right)\)

Xét hàm số \(y =  – {x^2} – 2x + m\), ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \)\( – {x^2} – 2x + m \le 0,\forall x \in \left( {2;3} \right) \Leftrightarrow m – 8 \le 0 \Leftrightarrow m \le 8\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \)\( – {x^2} – 2x + m \ge 3,\forall x \in \left( {2;3} \right) \Leftrightarrow m – 15 \ge 3 \Leftrightarrow m \ge 18\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 8\\m \ge 18\end{array} \right.\).

Vì \(m\) là số nguyên dương và \(m < 2024\), nên ta có \(\left( {8 – 1 + 1} \right) + \left( {2023 – 18 + 1} \right) = 2014\)giá trị \(m\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.