Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(R\)và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {e^{f\left( {2x + m} \right)}}\). Tìm số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 2024;2024} \right]\)để hàm số \(g\left( x \right)\)đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(R\)và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {e^{f\left( {2x + m} \right)}}\). Tìm số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 2024;2024} \right]\)để hàm số \(g\left( x \right)\)đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\).

A.\(4041\).

 B. \(2018\).

 C.\(2025\).

 D.\(4043\)

Lời giải:

Ta có \(g’\left( x \right) = {\left( {f\left( {2x + m} \right)} \right)^’}.{e^{f\left( {2x + m} \right)}} = 2.f’\left( {2x + m} \right).{e^{f\left( {2x + m} \right)}}\).

Nhận xét: \(2.{e^{f\left( {2x + m} \right)}} > 0\)do đó \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {2x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + m =  – 1\\2x + m = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ – 1 – m}}{2} = {x_1}\\x = \frac{{2 – m}}{2} = {x_2}\end{array} \right.\).

Khi đó: \(g’\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ;{x_1}} \right] \cup \left[ {{x_2}; + \infty } \right)\). Vậy để hàm số đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\)thì

TH1: \(3 \le {x_1}\)hay \(\frac{{ – 1 – m}}{2} \ge 3 \Leftrightarrow m \le  – 7\)

TH2: \(1 \ge {x_2}\)hay \(\frac{{2 – m}}{2} \le 1 \Leftrightarrow m \ge 0\)

Vì \(m\)nguyên và \(m \in \left[ { – 2024;2024} \right]\) nên có:  \(4043\)số thỏa mãn bài toán.