Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\rm{e}}^{2x}} – \,\left( {3m\,\, – \,2} \right){{\rm{e}}^x} + 2024m}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 10;10} \right]\) để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\)?
A. \(6\).
B. \(5\).
C. \(4\).
D. \(7\).
Lời giải:
Ta có \(y’ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\rm{e}}^{2x}} – \,\left( {3m\,\, – \,2} \right){{\rm{e}}^x} + 2024m}}.\ln \left( {\frac{1}{2}} \right).{\left[ {{{\rm{e}}^{2x}} – \,\left( {3m\,\, – \,2} \right){{\rm{e}}^x} + 2024m} \right]^\prime }\)
\( \Rightarrow y’ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\rm{e}}^{2x}} – \,\left( {3m\,\, – \,2} \right){{\rm{e}}^x} + 2024m}}.\ln \left( {\frac{1}{2}} \right).\left[ {{\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x}} – \,\left( {3m\,\, – \,2} \right){{\rm{e}}^x}} \right]\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\)\( \Leftrightarrow y’ \ge 0\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x}} – \,\left( {3m\,\, – \,2} \right){{\rm{e}}^x} \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x}} + 2{{\rm{e}}^x}}}{{{\rm{3}}{{\rm{e}}^x}}} \le m\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)}}{3} \le m\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\) \(\left( * \right)\)
Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{2\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)}}{3} \Rightarrow g’\left( x \right) = \frac{{2{{\rm{e}}^x}}}{3} > 0\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).
Suy ra \(\left( * \right) \Leftrightarrow m \ge g\left( 2 \right) = \frac{{2\left( {{{\rm{e}}^2} + 1} \right)}}{3} \approx 5,59\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left[ { – 10;10} \right]\) nên \(m \in \left\{ {6;7;8;9;10} \right\}\).
Vậy có 5 giá trị của tham số \(m\) thoả mãn bài toán.
===========
Đây là các câu File: Câu 40 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ TĂNG – GIẢM TRÊN KHOẢNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Để lại phản hồi