Sách Toán - Học Toán - Đề Thi Toán

Học toán, Đề thi toán, Sách giáo khoa Toán, trắc nghiệm Toán online

Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

by Để lại bình luận

📌 Đề bài (Câu 1 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):

Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2; +\infty)$
B. $(0; 2)$
C. $(-\infty; 2)$
D. $(0; +\infty)$

💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất $y’$
$$y’ = (x^3 – 3x^2 + 2)’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$$

Bước 3: Giải phương trình $y’ = 0$ và xét dấu đạo hàm
$$y’ = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x = 2 \end{aligned}\right.$$

Xét dấu tam thức bậc hai $y’ = 3x^2 – 6x$ với hệ số $a = 3 > 0$ (trong trái khác dấu, ngoài cùng dấu):
– $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$
– $y’ < 0$ khi $x \in (0; 2)$

Bước 4: Kết luận tính đơn điệu
Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. Nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
Đối chiếu với các phương án trắc nghiệm, khoảng đồng biến phù hợp là $(2; +\infty)$.

👉 Chọn đáp án: A

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ

Để xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số đa thức bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$), học sinh cần tuân thủ các bước cơ bản:

  1. Tìm tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
  2. Tính đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$. Tham khảo thêm phương pháp tại bài viết tính đạo hàm cơ bản.
  3. Giải phương trình $y’ = 0$ tìm các nghiệm thực $x_1, x_2$.
  4. Lập bảng xét dấu đạo hàm hoặc áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai: “Trong trái dấu với $a$, ngoài cùng dấu với $a$”.
  5. Kết luận:
    • Khoảng mà $y’ > 0$: Hàm số đồng biến (tăng).
    • Khoảng mà $y’ < 0$: Hàm số nghịch biến (giảm).

Đây là câu hỏi quen thuộc thường xuyên xuất hiện ở mức độ nhận biết trong các bộ đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)

Bài tập 1: Cho hàm số $y = x^3 – 3x + 1$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(-\infty; -1)$
B. $(-1; 1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y’ = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
Tam thức bậc hai có $a = 3 > 0$, do đó $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 1)$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$.
👉 Đáp án đúng: B

Bài tập 2: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 5$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$
C. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$
D. Hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có $y’ = -3x^2 + 6x = -3x(x – 2)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Do $a = -3 < 0$ nên $y' > 0$ trên khoảng $(0; 2)$ và $y’ < 0$ trên các khoảng $(-\infty; 0)$, $(2; +\infty)$.
Vậy hàm số đồng biến trên $(0; 2)$.
👉 Đáp án đúng: A

Bài tập 3: Hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 4$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(1; 3)$
B. $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$
C. $(-\infty; 3)$
D. $(1; +\infty)$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $y’ = x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
$y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.
Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.
👉 Đáp án đúng: B

Bài tập 4: Cho hàm số $y = 2x^3 – 6x + 5$. Khoảng nghịch biến của hàm số là:

A. $(-1; 1)$
B. $(-\infty; -1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(-1; +\infty)$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $y’ = 6x^2 – 6 = 6(x^2 – 1)$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow x^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$.
👉 Đáp án đúng: A

Bài tập 5: Cho hàm số $y = -x^3 – 3x^2 + 9x – 1$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(-\infty; -3)$
B. $(1; +\infty)$
C. $(-3; 1)$
D. $(-1; 3)$

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có $y’ = -3x^2 – 6x + 9 = -3(x^2 + 2x – 3) = -3(x – 1)(x + 3)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -3$ hoặc $x = 1$.
Vì hệ số $a = -3 < 0$, tam thức trái dấu với $a$ trong khoảng $(-3; 1)$, tức là $y' > 0 \Leftrightarrow x \in (-3; 1)$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-3; 1)$.
👉 Đáp án đúng: C

Reader Interactions

Để lại phản hồi