📌 Đề bài (Câu 1 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất $y’$
$$y’ = (x^3 – 3x^2 + 2)’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$$
Bước 3: Giải phương trình $y’ = 0$ và xét dấu đạo hàm
$$y’ = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x = 2 \end{aligned}\right.$$
Xét dấu tam thức bậc hai $y’ = 3x^2 – 6x$ với hệ số $a = 3 > 0$ (trong trái khác dấu, ngoài cùng dấu):
– $y’ > 0$ khi $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$
– $y’ < 0$ khi $x \in (0; 2)$
Bước 4: Kết luận tính đơn điệu
Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. Nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
Đối chiếu với các phương án trắc nghiệm, khoảng đồng biến phù hợp là $(2; +\infty)$.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Để xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số đa thức bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$), học sinh cần tuân thủ các bước cơ bản:
- Tìm tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- Tính đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$. Tham khảo thêm phương pháp tại bài viết tính đạo hàm cơ bản.
- Giải phương trình $y’ = 0$ tìm các nghiệm thực $x_1, x_2$.
- Lập bảng xét dấu đạo hàm hoặc áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai: “Trong trái dấu với $a$, ngoài cùng dấu với $a$”.
- Kết luận:
- Khoảng mà $y’ > 0$: Hàm số đồng biến (tăng).
- Khoảng mà $y’ < 0$: Hàm số nghịch biến (giảm).
Đây là câu hỏi quen thuộc thường xuyên xuất hiện ở mức độ nhận biết trong các bộ đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = x^3 – 3x + 1$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
Tam thức bậc hai có $a = 3 > 0$, do đó $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 1)$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$.
👉 Đáp án đúng: B
Bài tập 2: Cho hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 5$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Do $a = -3 < 0$ nên $y' > 0$ trên khoảng $(0; 2)$ và $y’ < 0$ trên các khoảng $(-\infty; 0)$, $(2; +\infty)$.
Vậy hàm số đồng biến trên $(0; 2)$.
👉 Đáp án đúng: A
Bài tập 3: Hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 4$ đồng biến trên khoảng nào?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
$y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.
Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.
👉 Đáp án đúng: B
Bài tập 4: Cho hàm số $y = 2x^3 – 6x + 5$. Khoảng nghịch biến của hàm số là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$y’ < 0 \Leftrightarrow x^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$.
👉 Đáp án đúng: A
Bài tập 5: Cho hàm số $y = -x^3 – 3x^2 + 9x – 1$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -3$ hoặc $x = 1$.
Vì hệ số $a = -3 < 0$, tam thức trái dấu với $a$ trong khoảng $(-3; 1)$, tức là $y' > 0 \Leftrightarrow x \in (-3; 1)$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-3; 1)$.
👉 Đáp án đúng: C
Để lại phản hồi