Bất đẳng thức - Bài tập tự luận

Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n - k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\) Lời giải Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n - k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\) Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)

Đề bài: Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8            (1) \\ xy+yz+zx=4           (2) \end{cases}$Chứng minh $-\frac{8}{3} \leq x;y;z \leq \frac{8}{3}$ Lời giải Đề bài: Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8            (1) \\ xy+yz+zx=4           (2) \end{cases}$Chứng minh $-\frac{8}{3} \leq x;y;z \leq \frac{8}{3}$ Lời … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8            (1) \\ xy+yz+zx=4           (2) \end{cases}$Chứng minh $-\frac{8}{3} \leq x;y;z \leq \frac{8}{3}$

Đề bài: Cho tứ diện $ABCD, P$ là một điểm tùy ý trong tứ diện. Gọi $A_1, B_1, C_1,D_1$ là hình chiếu của $P$ lên các mặt $BCD, ACD, ABD$ và $ABC$. Gọi $S$ và $r$ tương ứng là diện tích toàn phần và bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện.  Chứng minh: $\frac{S_{BCD}}{PA_1}+\frac{S_{CDA}}{PB_1}+\frac{S_{DAB}}{PC_1}+\frac{S_{ABC}}{PD_1} \geq \frac{S}{r}$ Lời giải Đề … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho tứ diện $ABCD, P$ là một điểm tùy ý trong tứ diện. Gọi $A_1, B_1, C_1,D_1$ là hình chiếu của $P$ lên các mặt $BCD, ACD, ABD$ và $ABC$. Gọi $S$ và $r$ tương ứng là diện tích toàn phần và bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện.  Chứng minh: $\frac{S_{BCD}}{PA_1}+\frac{S_{CDA}}{PB_1}+\frac{S_{DAB}}{PC_1}+\frac{S_{ABC}}{PD_1} \geq \frac{S}{r}$

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a,b $ luôn có:          $a^2-ab+b^2\geq 0$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a,b $ luôn có:          $a^2-ab+b^2\geq 0$ Lời giải *Cách 1 Coi vế trái của bất đẳng thức trên là một tam thức bậc hai với ẩn $a$ và tham số $b$, ta có:$\triangle … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với mọi $a,b $ luôn có:          $a^2-ab+b^2\geq 0$

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n, p$ ta có:    $\frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}} Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n, p$ ta có:    $\frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}} Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n, p$ ta có:    $\frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+…+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}

Đề bài: Cho $n,m \in Z,n,m \geq 2;0 Lời giải Đề bài: Cho $n,m \in Z,n,m \geq 2;0 Lời giải Đặt $S=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n a_{i}>0$Áp dụng BĐT Bernoulli:$(\frac{ a_{i}}{S})^{m}=[1+(\frac{ a_{i}-S}{S})]^{m}\geq 1+\frac{ m(a_{i}-S)}{S} (\forall … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $n,m \in Z,n,m \geq 2;0