Bất đẳng thức - Bài tập tự luận

Đề bài: Cho $ x>y>0$. Chứng minh rằng : $ (x-y)[2-(x+y)] Lời giải Đề bài: Cho $ x>y>0$. Chứng minh rằng : $ (x-y)[2-(x+y)] Lời giải $ \forall t\geq 0 $, ta có : $\frac{1}{1+t} \geq 1 -t $     Dấu $"=" \Leftrightarrow  t=0$$\Rightarrow \int\limits_{y}^{x} \frac{dt}{1+t} > \int\limits_{y}^{x} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $ x>y>0$. Chứng minh rằng : $ (x-y)[2-(x+y)]

Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ biết: $2x^2+3y^2-2z^3=0$Chứng minh rằng $z$ là số lớn nhất trong ba số đã cho. Lời giải Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ biết: $2x^2+3y^2-2z^3=0$Chứng minh rằng $z$ là số lớn nhất trong ba số đã cho. Lời giải Ta có:  $2x^2+3y^2-2z^2=0  \Leftrightarrow  … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ biết: $2x^2+3y^2-2z^3=0$Chứng minh rằng $z$ là số lớn nhất trong ba số đã cho.

Đề bài: Cho hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên $[a,b]$ và $f(a)=0$Chứng minh rằng: $[\mathop {Max|f(x)|}\limits_{x\in [a,b]} ]^{2}\leq (b-a)\int\limits^{b}_{a}[f(x)]^{2}dx$ Lời giải Đề bài: Cho hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên $[a,b]$ và $f(a)=0$Chứng minh rằng: $[\mathop {Max|f(x)|}\limits_{x\in [a,b]} ]^{2}\leq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên $[a,b]$ và $f(a)=0$Chứng minh rằng: $[\mathop {Max|f(x)|}\limits_{x\in [a,b]} ]^{2}\leq (b-a)\int\limits^{b}_{a}[f(x)]^{2}dx$

Đề bài: Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$ Lời giải Đề bài: Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$ Lời giải Ta có ngay: $(a-b)^2\geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab .  (1)$ Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b$Tương tự:             $b^2+c^2\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$

Đề bài: Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}\in R$.Chứng minh rằng:$\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^na_{i})^{2}+(\sum\limits_{i=1}^n b_{i})^{2}}$ Lời giải Đề bài: Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}\in R$.Chứng minh rằng:$\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a_{1},a_{2},…,a_{n},b_{1},b_{2},…,b_{n}\in R$.Chứng minh rằng:$\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^na_{i})^{2}+(\sum\limits_{i=1}^n b_{i})^{2}}$

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có:   $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 .   (1)$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có:   $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 .   (1)$ Lời giải Ta có nhận xét:   $\displaystyle … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có:   $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 .   (1)$

Đề bài: Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$ Lời giải Đề bài: Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$