Đề bài: Cho hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên $[a,b]$ và $f(a)=0$Chứng minh rằng: $[\mathop {Max|f(x)|}\limits_{x\in [a,b]} ]^{2}\leq (b-a)\int\limits^{b}_{a}[f(x)]^{2}dx$

Lời giải

Đề bài:
Cho hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên $[a,b]$ và $f(a)=0$Chứng minh rằng: $[\mathop {Max|f(x)|}\limits_{x\in [a,b]} ]^{2}\leq (b-a)\int\limits^{b}_{a}[f(x)]^{2}dx$
Lời giải

Ta có:
Do $f(a)=0 \Rightarrow f(x_{0})-f(a)=\int\limits^{x_{0}}_{a}f'(x)dx$
Trong đó: $f(x_{0})=max\left\{ \begin{array}{l} \end{array} \right.\left. |f(x)|/x\in [a,b] \right \}$
$\Rightarrow[f(x_{0})]^{2}=(\int\limits^{x_{0}}_{a}1-f'(x)dx)^{2}$
$\leq (\int\limits^{x_{0}}_{a}1^{2}dx)(\int\limits^{x_{0}}_{a}[f'(x)]^{2}dx)\leq (b-a)\int\limits^{x_{0}}_{a}[f'(x)]^{2}dx$
Vậy: $[\mathop {Max|f(x)|}\limits_{x\in [a,b]} ]^{2}\leq (b-a)\int\limits^{b}_{a}[f(x)]^{2}dx$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác