Đề bài: Cho $a_{1},a_{2},…,a_{n},b_{1},b_{2},…,b_{n}\in R$.Chứng minh rằng:$\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^na_{i})^{2}+(\sum\limits_{i=1}^n b_{i})^{2}}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a_{1},a_{2},…,a_{n},b_{1},b_{2},…,b_{n}\in R$.Chứng minh rằng:$\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^na_{i})^{2}+(\sum\limits_{i=1}^n b_{i})^{2}}$
Lời giải

Trong mặt phẳng $Oxy,$ chọn $O(0,0);A_{1}(a_{1},b_{1}),A_{2}(a_{2},b_{2}),…,A_{n}(a_{n},b_{n})$
Lúc đó:
$OA_{i}=\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}(i=1,2,…,n)$
Ta có: $|\overrightarrow{OA_{1}}|+|
\overrightarrow{ OA_{2}}|+…+|
\overrightarrow{ OA_{n}}|\geq |
\overrightarrow{ OA_{1}}+
\overrightarrow{ OA_{2}}+…+
\overrightarrow{ OA_{n}}|$
$\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^na_{i})^{2}+(\sum\limits_{i=1}^n b_{i})^{2}}$
$\Rightarrow$(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác