Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt{x^{2}-2px+2p^{2}}+\sqrt{x^{2}-2qx+2q^{2}}\geq \sqrt{(p-q)^{2}+(|p|+|q|)^{2}}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$\sqrt{x^{2}-2px+2p^{2}}+\sqrt{x^{2}-2qx+2q^{2}}\geq \sqrt{(p-q)^{2}+(|p|+|q|)^{2}}$
Lời giải

Trong mặt phẳng $Oxy$,chọn: $A(x-p,|p|),B(x-q,-|q|)$
Ta có:
$OA=\sqrt{(x-p)^{2}+|p|^{2}}=\sqrt{x^{2}-2px+2p^{2}}$
$OB=\sqrt{(x-q)^{2}+|q|^{2}}=\sqrt{x^{2}-2qx+2q^{2}}$
$AB=\sqrt{(p-q)^{2}+2(|p|+|q|)^{2}}$
Ta có: $OA+OB\geq AB$
$\Rightarrow \sqrt{x^{2}-2px+2p^{2}}+\sqrt{x^{2}-2qx+2q^{2}}\geq \sqrt{(p-q)^{2}+(|p|+|q|)^{2}}$
$\Rightarrow$(ĐPCM)
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi: $B,O,A$ thẳng hàng
$\Leftrightarrow \frac{x-p}{x-q}=-\frac{|p|}{|q|}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác