Lời giải
Đề bài:
Cho $a+b=2$. Chứng minh rằng:a) $a^2+b^2\geq 2$ b) $a^4+b^4\geq 2$ c) $a^8+b^8\geq 2$.
Lời giải
$a.$
*Cách 1:
Ta có:
$(a-b)^2\geq 0\Leftrightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2$.
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi :$\begin{cases}a+b=2 \\ a-b= 0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=1$.
*Cách 2
Ta có $b=2-a$ suy ra:
$a^2+b^2=a^2+(2-a)^2=2a^2-4a+4=2(a-1)^2+2\geq 2$.
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi :
$a-1=0\Leftrightarrow a=1\Rightarrow b=1$.
$b.$
Sử dụng bất đẳng thức ở phần trên, ta có ngay : $a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{2^2}{2}=2$.
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$.
$c.$
Sử dụng kết quả của phần $b)$ ta có ngay:
$a^8+b^8 \geq \frac{(a^4+b^4)^2}{2}\geq \frac{2^2}{2}=2$.
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$.
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời