Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng : $\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{3}\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{5}$   $\left ( 1 \right )$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng : $\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{3}\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{5}$   $\left ( 1 \right )$
Lời giải

$\left ( 1 \right ) \Leftrightarrow \left ( \frac{3a}{a+b+c} \right )^{5}+ \left ( \frac{3b}{a+b+c} \right )^{5}+ \left ( \frac{3c}{a+b+c} \right )^{5}\geq 3$
Áp dụng BĐT Bernoulli:
$\left ( \frac{3a}{a+b+c} \right )^{5}=\left ( 1+\frac{b+c-2a}{a+b+c} \right )^{5}\geq 1+\frac{5\left ( b+c-2a \right )}{a+b+c}$  $\left ( 2 \right )$
Chứng minh tương tự:
$\left ( \frac{3b}{a+b+c} \right )^{5}\geq 1+\frac{5\left ( c+a-2b\right )}{a+b+c}$  $\left ( 3 \right )$
$\left ( \frac{3c}{a+b+c} \right )^{5}\geq 1+\frac{5\left ( a+b-2c\right )}{a+b+c}$  $\left ( 4 \right )$
 Cộng $\left ( 2 \right )$,$\left ( 3 \right )$,$\left ( 4 \right )$theo vế có:
$\left ( \frac{3a}{a+b+c} \right )^{5}+\left ( \frac{3b}{a+b+c} \right )^{5}+\left ( \frac{3c}{a+b+c} \right )^{5}\geq3$
$\Rightarrow $ (đpcm)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác