Đề bài: Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$
Lời giải

Đặt $a=2^{x},b=2^{y},c=2^{z} \left ( 1\leq a,b,c\leq 2 \right )$
Do $1\leq a\leq 2 \Rightarrow \left ( a-1 \right )\left ( a-2 \right )\leq 0$
$\Rightarrow a^{2}-3a+2\leq 0\Rightarrow a+\frac{2}{a}\leq 3$ $\left ( 1 \right )$
Tương tự ta cũng có:   $b+\frac{2}{b}\leq 3$ $\left ( 2 \right )$
                                       $c+\frac{2}{c}\leq 3$ $\left ( 3 \right )$
Cộng $\left ( 1 \right )$,$\left ( 2 \right )$,$\left ( 3 \right )$ vế với vế:
$\Rightarrow 9\geq \left ( a+b+c \right )+2\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$
          $\geq 2\sqrt{\left ( a+b+c \right ).2\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}$
$\Rightarrow \frac{81}{8}\geq \left ( a+b+c \right ).\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác