• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a,b\in R$ luôn có:$\frac{a+b}{2}\times \frac{a^2+b^2}{2}\times \frac{a^3+b^3}{2}\leq \frac{a^6+b^6}{2}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a,b\in R$ luôn có:$\frac{a+b}{2}\times \frac{a^2+b^2}{2}\times \frac{a^3+b^3}{2}\leq \frac{a^6+b^6}{2}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi $a,b\in R$ luôn có:$\frac{a+b}{2}\times \frac{a^2+b^2}{2}\times \frac{a^3+b^3}{2}\leq \frac{a^6+b^6}{2}$
Lời giải

Ta đi chứng minh với mọi $x,y$ luôn có:
$$\frac{x+y}{2}.\frac{x^3+y^3}{2}\leq \frac{x^4+y^4}{2}(*)$$
Thật vậy:
$
(*)\Leftrightarrow (x+y)(x^3+y^3)\leq 2(x^4+y^4)\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)\leq x^4+y^4
$
$\Leftrightarrow$$ (x^3-y^3)(x-y)\geq 0
\Leftrightarrow$$(x-y)^2((x+\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4})\geq 0$, luôn  đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

Khi đó, áp dụng $(*)$, ta được:
$\frac{a+b}{2}. \frac{a^2+b^2}{2}. \frac{a^3+b^3}{2}=(\frac{a+b}{2}. \frac{a^3+b^3}{2}).\frac{a^2+b^2}{2}$$\leq \frac{a^4+b^4}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}$

Xét  với  $x=a^2, y=b^2$, làm tương tự như trên suy ra: $\frac{x+y}{2}.\frac{x^2+y^2}{2}\leq \frac{x^3+y^3}{2}$
Do đó:  $\frac{a^2+b^2}{2}. \frac{a^4+b^4}{2} \leq \frac{a^6+b^6}{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$
Ta có đpcm.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}\)  (1)
  2. Đề bài: Cho $a+b+c=6                                                      (1)$Hãy chứng minh $a^2+b^2+c^2 \geq 12      (2)$
  3. Đề bài: Chứng minh rằng:$C_{n}^{0}-\frac{1}{3}C_{n}^{1}+\frac{1}{5}C_{n}^{2}+…+\frac{(-1)^{n}}{2n+1}C_{n}^{n}\geq \sqrt{\frac{3n+1}{4n^{2}+4n+1}}$
  4. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a,b $ luôn có:          $a^2-ab+b^2\geq 0$
  5. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n, p$ ta có:    $\frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+…+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}
  6. Đề bài: Cho $n \in Z,n\geq 2;a_{1},a_{2},…,a_{n} \geq 0$.Chứng minh rằng:$\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n} }{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}…a_{n} }$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng với $a, b, c, d, e$ là các số thực nằm trong khoảng $(0, 1)$ thì:    \(\left( {1 – a} \right)\left( {1 – b} \right)\left( {1 – c} \right)\left( {1 – d} \right)\left( {1 – e} \right) > 1 – a – b – c – d – e\)
  8. Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)
  9. Đề bài: Cho $x,y,z$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x^2+y^2+z^2=8            (1) \\ xy+yz+zx=4           (2) \end{cases}$Chứng minh $-\frac{8}{3} \leq x;y;z \leq \frac{8}{3}$
  10. Đề bài: Cho tứ diện $ABCD, P$ là một điểm tùy ý trong tứ diện. Gọi $A_1, B_1, C_1,D_1$ là hình chiếu của $P$ lên các mặt $BCD, ACD, ABD$ và $ABC$. Gọi $S$ và $r$ tương ứng là diện tích toàn phần và bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện.  Chứng minh: $\frac{S_{BCD}}{PA_1}+\frac{S_{CDA}}{PB_1}+\frac{S_{DAB}}{PC_1}+\frac{S_{ABC}}{PD_1} \geq \frac{S}{r}$
  11. Đề bài: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:a) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1\)b) \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \ldots \times\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{2n}}\)
  12. Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$, chứng minh rằng:   $\frac{c}{a^2+b^2}+\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
  13. Đề bài: Cho $n,m \in Z,n,m \geq 2;0
  14. Đề bài: Chứng tỏ rằng nếu ba số $a,b,c$ thoả mãn điều kiện                         $\begin{cases}a+b+c>0 \\ ab+bc+ca>0 \\abc>0\end{cases} $ thì $a,b,c$ là ba số dương.
  15. Đề bài: Giả sử $a\cos2x + b\cos x + 1 \ge 0$ đúng với $\forall x$. Chứng minh $|a|+|b| \le 2$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.