Đề bài: Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$
Lời giải

Ta có ngay: $(a-b)^2\geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab .  (1)$ Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b$
Tương tự:
             $
b^2+c^2\geq 2bc.(2)
$
             $
c^2+d^2\geq 2cd.(3)
$
             $
d^2+a^2\geq 2da.(4)
$
             $
a^2+c^2\geq 2ac.(5)
$
             $
b^2+d^2\geq 2bd.(6)
$
Cộng theo vế $(1),(2),(3),(4),(5),(6)$ ta được:
     $3(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 2(ab+bc+cd+da+ac+bd)$
$
\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+bc+cd+da+ac+bd)
$
$
   =(a+b+c+d)^2=2^2=4
$
\(
\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1
\)(đpcm)
Dấu $”=”$ xảy ra khi:$\begin{cases}a+b+c+d=2 \\ a=b=c=d \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác