• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Toán 12
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Tiện ích Toán
Bạn đang ở:Trang chủ / Bất đẳng thức - Bài tập tự luận / Đề bài: Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$

Đề bài: Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$

Ngày 11/07/2021 Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

Đề bài: Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$
Lời giải

Ta có ngay: $(a-b)^2\geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab .  (1)$ Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b$
Tương tự:
             $
b^2+c^2\geq 2bc.(2)
$
             $
c^2+d^2\geq 2cd.(3)
$
             $
d^2+a^2\geq 2da.(4)
$
             $
a^2+c^2\geq 2ac.(5)
$
             $
b^2+d^2\geq 2bd.(6)
$
Cộng theo vế $(1),(2),(3),(4),(5),(6)$ ta được:
     $3(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 2(ab+bc+cd+da+ac+bd)$
$
\Leftrightarrow 4(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+bc+cd+da+ac+bd)
$
$
   =(a+b+c+d)^2=2^2=4
$
\(
\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1
\)(đpcm)
Dấu $”=”$ xảy ra khi:$\begin{cases}a+b+c+d=2 \\ a=b=c=d \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng minh bất dẳng thức:a) $\sin ^{4}x+\cos ^{8}x\leq  1                                               b) \sin^{10}x+\cos^{11}x \leq \ 1$ c)$(1+x)^{n}+(1-x)^{n} \leq  2^{n}; (|x|\leq  1), n \geq   1$
  2. Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $\sqrt{x^2-2x+5 }+\sqrt{ x^2+2x+10}  \geq \sqrt{ 5} $b) $\sqrt{(a-b)^2+c^2 }+\sqrt{(a+b)^2+c^2 } \geq  2\sqrt{ a^2+c^2} $
  3. Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a) $\sqrt{ \cos^4a+\cos^4b}+\sin^2a+\sin^2b \geq  \sqrt{ 2} $b) $\sqrt{a^2-\sqrt{ 2}ab+b^2  }+\sqrt{b^2-\sqrt{ 3}bc+c^2  } \geq  \sqrt{a^2-\sqrt{ 2-\sqrt{ 3} }ac+c^2  }$
  4. Đề bài:  Cho $4$ số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $(I) \begin{cases}2a+b=6 \\ 2c+d=2 \end{cases}$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    $U=\sqrt{(a-4)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}+\sqrt{(c+1)^2+(d+3)^2}$
  5. Đề bài: Chứng minh rằng : $ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k(2k-1)} } < \ln 4 $
  6. Đề bài: Chứng minh rằng : $b(a+1) \leq  e^a + b. \ln b, \forall a,b \geq 1$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng : $ \frac{2}{3} < \frac{1}{\sqrt{n^3} }\sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt k } < \frac{2}{3}\sqrt{\left ( \frac{n+1}{n}  \right )^3 }- \frac{2}{3\sqrt{n^3} }, \forall n \in  N$
  8. Đề bài: Cho $ x>y>0$. Chứng minh rằng : $ (x-y)[2-(x+y)]
  9. Đề bài: Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}\)  (1)
  10. Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)
  11. Đề bài: Giả sử $a\cos2x + b\cos x + 1 \ge 0$ đúng với $\forall x$. Chứng minh $|a|+|b| \le 2$
  12. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số $a,b,c\in [0,1]$ ta luôn có:  $(1+a+b+c)^{2}\geq 4(a^2+b^2+c^2)$.
  13. Đề bài: Chứng minh rằng:   $(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\geq \frac{4}{27}(3xy+3yz+3zx)^2    (1) $ trong đó $x,y,z$ là các số thực.
  14. Đề bài: Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, …,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn:  $a_{1}^3+ a_2^3+…a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+…a_n\leq \frac{n}{3}$
  15. Đề bài: Cho $n$ số thực không âm $x_1, x_2, …, x_n$ thỏa mãn điều kiện: $x_1+x_2+…+x_n\leq  \frac{1}{2} $Chứng minh rằng : $(1-x_1)(1-x_2)…(1-x_n)\geq  \frac{1}{2} $

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

Booktoan.com (2015 - 2025) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.