Đề bài: Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}\in R$.Chứng minh rằng:$\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^na_{i})^{2}+(\sum\limits_{i=1}^n b_{i})^{2}}$ Lời giải Đề bài: Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}\in R$.Chứng minh rằng:$\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a_{1},a_{2},…,a_{n},b_{1},b_{2},…,b_{n}\in R$.Chứng minh rằng:$\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^na_{i})^{2}+(\sum\limits_{i=1}^n b_{i})^{2}}$
Bất đẳng thức - Bài tập tự luận
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có: $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 . (1)$
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có: $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 . (1)$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có: $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 . (1)$ Lời giải Ta có nhận xét: $\displaystyle … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có: $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 . (1)$
Đề bài: Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$
Đề bài: Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$ Lời giải Đề bài: Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc} (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc} (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều. Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc} (1)$. Chứng … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc} (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c.$Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c.$Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$ Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c.$Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$ Lời giải Do $a,b,c$ là $3$ cạnh tam giác nên $|a-b|$\Rightarrow (a-b)^2Tương tự ta có : … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c.$Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\) Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\) Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)
Đề bài: Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0
Đề bài: Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0 Lời giải Đề bài: Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0 Lời giải Từ giả thiết ta biến đổi bất đẳng thức về dạng: $\sqrt{\frac{a-c}{a}.\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b-c}{b}.\frac{c}{a}}\leq 1 \Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho các số $a,b,c$ thoả mãn $0
Đề bài: Biết rằng: $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$
Đề bài: Biết rằng: $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$ Lời giải Đặt $Q=x^2+y^2$$\bullet$ Để ý: $14-Q=2(x+y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow Q \leq 14$.Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi:$\left\{ \begin{array}{l} x+y=0\\ 3x^2+4xy+3y^2=14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-y\\ x^2=7 \end{array} \right. … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Biết rằng: $3x^2+4xy+3y^2=14.$ Chứng minh $\frac{14}{5} \leq x^2+y^2 \leq 14$
Đề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$: $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$
Đề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$: $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$ Lời giải Gọi $k > 0$ là cộng sai của cấp số cộng, ta có $b = a + k,c = a + 2k,d = a + 3k$ và điều kiện $2m \ge \left| {a{\rm{d - bc}}} \right| = \left| {a\left( {a + 3k} \right) - … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Các số $a,b,c,d$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu lấy số $m$ sao cho $2m \ge|ad-bc|$, thì ta có với mọi $x$: $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+ {m^2} \ge 0$
Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)
Đề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen) Lời giải $1/$ Bài toán $\Leftrightarrow \left ( 2+a^{2}+b^{2} \right )\left ( 1+ab \right )\geq 2\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c \geq 1.$Hãy chứng minh:$1/\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$$2/\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} $(Đây là dạng bất đẳng thức JenSen)