Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x>c^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x,\forall x \in R$. Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x>c^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x,\forall x \in R$. Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh của $\triangle ABC$.Chứng minh rằng:$a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x>c^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x,\forall x \in R$.
Bất đẳng thức - Bài tập tự luận
Đề bài: Chứng minh rằng $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 – 16; b \ge 0 $
Đề bài: Chứng minh rằng $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 - 16; b \ge 0 $ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm $ {\left( {{a^2}} \right)^3},{\left( {{b^3}} \right)^3},{4^3} $ ta có : $ \begin{array}{l}\frac{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3} + {{\left( {{b^3}} \right)}^3} + {4^3}}}{3} \ge \sqrt[3]{{{{\left( {{a^2}} \right)}^3}.{{\left( … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng $ \frac{a^6 + b^9}{4} \ge 3a^2b^3 – 16; b \ge 0 $
Đề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\)
Đề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\) Lời giải BĐT \(\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[\left (1+ x \right )^{2} +\left (1+ y \right )^{2}]\geq \left (1+ x \right )^{2} \left (1+ y \right )^{2} \)\(\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[2\left ( 1+x+y \right )+x^{2}+y^{2}]\geq [\left ( 1+x+y … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\)
Đề bài: Chứng minh rằng: $\sin \frac{5\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}>1$
Đề bài: Chứng minh rằng: $\sin \frac{5\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}>1$ Lời giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:Cách $1$: Sử dụng mối liên hệ giữa các góc, ta biến đổi: $VT=\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12})+\sin \frac{\pi}{12}=\cos \frac{\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}=\sqrt{2}\sin (\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4})$ $=\sqrt{2}\sin … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: $\sin \frac{5\pi}{12}+\sin \frac{\pi}{12}>1$
Đề bài: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4} (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$
Đề bài: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4} (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$ Lời giải Đề bài: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4} (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4} (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$
Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\)
Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\) Lời giải Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \((x-1)\) và \(\frac{1}{x-1}\)Ta có: \((x-1)+\frac{1}{x-1}\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\)
Đề bài: Chứng minh:a) $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3 \forall a>b>0 (1)$b) $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3 \forall a>b>0 (2)$
Đề bài: Chứng minh:a) $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3 \forall a>b>0 (1)$b) $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3 \forall a>b>0 (2)$ Lời giải Đề bài: Chứng minh:a) $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3 \forall a>b>0 (1)$b) $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3 \forall a>b>0 … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh:a) $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3 \forall a>b>0 (1)$b) $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3 \forall a>b>0 (2)$
Đề bài: Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})…(1-\frac{25}{365})
Đề bài: Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})...(1-\frac{25}{365}) Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})...(1-\frac{25}{365}) Lời giải Theo BĐT Cauchy:$\prod\limits_{k=1}^{25}(1-\frac{k}{365})\leq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})…(1-\frac{25}{365})
Đề bài: Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,…)$ là một dãy số tăng, tức là
Đề bài: Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,...)$ là một dãy số tăng. Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,...)$là một dãy số tăng Lời giải Ta cần chứng minh $\displaystyle (1+\frac{1}{n})^n$ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho $n+1$ số dương không đồng thời bằng nhau: $1$ và $\displaystyle \underbrace … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,…)$ là một dãy số tăng, tức là
Đề bài: Cho $0
Đề bài: Cho $0 Lời giải Đề bài: Cho $0 Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy cho $3$ số:$2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})\leq (\frac{2x^{2}+1-x^{2}+1-x^{2}}{3})^3$$\Rightarrow 2x^{2}(1-x^{2})^{2}\leq \frac{8}{27}$$\Rightarrow x(1-x^{2})\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$$\Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $0