Đề bài: Cho $x>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x$ Lời giải GiảiTheo bất đẳng thức Cô-si: $4x+\frac{9\pi^2}{x} \geq 2\sqrt{4x.\frac{9\pi^2}{x}}=12\pi$Đẳng thức xảy ra khi: $4x=\frac{9\pi^2}{x} \Leftrightarrow x=3\pi>0$Vì $\sin x \geq -1$ nên $y\geq 12\pi-1$ với mọi $x>0$. Đẳng thức xảy ra khi $x=3\pi.$Do đó $\min y=12\pi-1$, xảy ra … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $x>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x$
Bài tập Hàm số
Đề: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}x^2-2x^2+3x $ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $(C)$ tại điểm uốn và chứng minh rằng $\Delta $ là tiếp tuyến cho hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của $(C)$
Đề bài: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}x^2-2x^2+3x $ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $(C)$ tại điểm uốn và chứng minh rằng $\Delta $ là tiếp tuyến cho hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của $(C)$ Lời giải Dễ thấy điểm uốn của đồ thị là $U\left ( 2;\frac{2}{3} \right )$. Tại $U$ tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc $y'(2)=-1$. Tiếp tuyến … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}x^2-2x^2+3x $ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $(C)$ tại điểm uốn và chứng minh rằng $\Delta $ là tiếp tuyến cho hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của $(C)$
Đề: Cho đường cong $y=x^{3}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong biết:a) Tại điểm $(-1;-1)$b) Tại điểm có hoành độ bằng 2c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Đề bài: Cho đường cong $y=x^{3}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong biết:a) Tại điểm $(-1;-1)$b) Tại điểm có hoành độ bằng 2c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 Lời giải Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)=x^{3}$ tại điểm $x=x_{0}$ bất kì. Với $\Delta x$ là số gia của $x_{0}$ ta có *$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=(x_{0}+\Delta … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho đường cong $y=x^{3}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong biết:a) Tại điểm $(-1;-1)$b) Tại điểm có hoành độ bằng 2c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Đề: Chứng tỏ rằng hàm số $y = a \cos x + b \sin x$, trong đó $a,b$ là các hằng số tùy ý, thỏa mãn phương trình: $ y''+y = 0$
Đề bài: Chứng tỏ rằng hàm số $y = a \cos x + b \sin x$, trong đó $a,b$ là các hằng số tùy ý, thỏa mãn phương trình: $ y''+y = 0$ Lời giải Lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta được : $ y' = -a \sin x + b \cos x, y'' = -a \cos x- b \sin x = -y$Do đó : $ y'' +y = -y + y = 0$(đpcm) … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng tỏ rằng hàm số $y = a \cos x + b \sin x$, trong đó $a,b$ là các hằng số tùy ý, thỏa mãn phương trình: $ y''+y = 0$
Đề: Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng $(P)$ đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng $(P)$ thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất?
Đề bài: Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng $(P)$ đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng $(P)$ thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất? Lời giải Giả sử $P$ qua đường chéo $BD’$ chẳng hạn và cắt $AA’$ tại $M$. Nối $D’M$ cắt $DA$ tại $M’$; nối $M’B$ cắt $DC$ tại $N’$ ; nối $N’D’$ cắt $CC’$ tại $N$. Ta có $MBND’$ là thiết diện do $P$ … [Đọc thêm...] vềĐề: Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng $(P)$ đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng $(P)$ thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất?
Đề: Cho hàm số $y$ = \(\frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} – 2mx – \left( {{m^3} – {m^2} + 2} \right)}}{{x – m}}\left( {{C_m}} \right)\)$1$. Khảo sát hàm số với $m = 0$$2$. Xác định tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số luôn luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Đề bài: Cho hàm số $y$ = \(\frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} - 2mx - \left( {{m^3} - {m^2} + 2} \right)}}{{x - m}}\left( {{C_m}} \right)\)$1$. Khảo sát hàm số với $m = 0$$2$. Xác định tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số luôn luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Lời giải $1$. Bạn đọc tự giải$2$. Ta có \(y' = \frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} - 2m\left( … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $y$ = \(\frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} – 2mx – \left( {{m^3} – {m^2} + 2} \right)}}{{x – m}}\left( {{C_m}} \right)\)$1$. Khảo sát hàm số với $m = 0$$2$. Xác định tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số luôn luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Đề: Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{mx^2 + (m – 1)x + {m^2} + m}{{x – m}}\,\,\,\,\,(1)$$a$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1$.Từ đồ thị vẽ suy ra đồ thị:$y = \frac{{{x^2} + 2}}{{|x| – 1}}$$ b)$ Tìm $x_0$ để với mọi $m \ne 0$, tiếp tuyến của đồ thị ($1$) tại điểm có hoành độ $x_0$ song song với một đường thẳng cố định. Tìm hệ số góc của đường thẳng cố định ấy.
Đề bài: Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{mx^2 + (m - 1)x + {m^2} + m}{{x - m}}\,\,\,\,\,(1)$$a$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1$.Từ đồ thị vẽ suy ra đồ thị:$y = \frac{{{x^2} + 2}}{{|x| - 1}}$$ b)$ Tìm $x_0$ để với mọi $m \ne 0$, tiếp tuyến của đồ thị ($1$) tại điểm có hoành độ $x_0$ song song với một đường thẳng cố định. Tìm hệ số góc của đường … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{mx^2 + (m – 1)x + {m^2} + m}{{x – m}}\,\,\,\,\,(1)$$a$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1$.Từ đồ thị vẽ suy ra đồ thị:$y = \frac{{{x^2} + 2}}{{|x| – 1}}$$ b)$ Tìm $x_0$ để với mọi $m \ne 0$, tiếp tuyến của đồ thị ($1$) tại điểm có hoành độ $x_0$ song song với một đường thẳng cố định. Tìm hệ số góc của đường thẳng cố định ấy.
Đề: Cho hàm số: $ f(x) = \sqrt{-x^2+3x-2}$Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm: $ \frac{2f^2(x)}{(3-2x)}f'(x) = \sqrt{2m+x-x^2} \,\,\,\,\,\,\,(1)$
Đề bài: Cho hàm số: $ f(x) = \sqrt{-x^2+3x-2}$Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm: $ \frac{2f^2(x)}{(3-2x)}f'(x) = \sqrt{2m+x-x^2} \,\,\,\,\,\,\,(1)$ Lời giải Ta có : $f'(x) = \frac{-2x+3}{2\sqrt{-x^2+3x-2} }$.Khi đó, phương trình (1) có dạng : $\frac{2(-x+3x-2)(-2x+3)}{2(3-2x)\sqrt{-x^2+3x-2} } = \sqrt{2m+x-x^2}$. $\Leftrightarrow \sqrt{-x +3x … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $ f(x) = \sqrt{-x^2+3x-2}$Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm: $ \frac{2f^2(x)}{(3-2x)}f'(x) = \sqrt{2m+x-x^2} \,\,\,\,\,\,\,(1)$
Đề: Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) $y = \frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} }$ b) $y = \frac{1}{(x+1)\sqrt{x+1} }$
Đề bài: Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) $y = \frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} }$ b) $y = \frac{1}{(x+1)\sqrt{x+1} }$ Lời giải a) Viết lại hàm số dưới dạng : $ y = \frac{2 (\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}) }{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})} =\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$$\Rightarrow y'=\frac{1}{2\sqrt{x+1} }-\frac{1}{2\sqrt{x-1} }$b) Viết lại hàm số … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) $y = \frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} }$ b) $y = \frac{1}{(x+1)\sqrt{x+1} }$
Đề: Cho hàm số: $y = \frac{2x + 1}{x + 2} (H)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ($H$) của hàm số. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ($H$) , trục hoành và đường thẳng $x = 1$$2$. Tìm những giá trị của $t$ để phương trình $\frac{2\sin x + 1}{\sin x + 2} = t$ có đúng hai nghiệm thuộc khoảng $[0;\pi $].
Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{2x + 1}{x + 2} (H)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ($H$) của hàm số. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ($H$) , trục hoành và đường thẳng $x = 1$$2$. Tìm những giá trị của $t$ để phương trình $\frac{2\sin x + 1}{\sin x + 2} = t$ có đúng hai nghiệm thuộc khoảng $[0;\pi $]. Lời giải $1.$ Bạn đọc tự giải$2.$ Đặt … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $y = \frac{2x + 1}{x + 2} (H)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ($H$) của hàm số. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ($H$) , trục hoành và đường thẳng $x = 1$$2$. Tìm những giá trị của $t$ để phương trình $\frac{2\sin x + 1}{\sin x + 2} = t$ có đúng hai nghiệm thuộc khoảng $[0;\pi $].