Đề bài: Cho đường cong $y=x^{3}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong biết:a) Tại điểm $(-1;-1)$b) Tại điểm có hoành độ bằng 2c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Lời giải
Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)=x^{3}$ tại điểm
$x=x_{0}$ bất kì.
Với $\Delta x$ là số gia của $x_{0}$ ta có
*$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=(x_{0}+\Delta x)^{3}-x_{0}^{3}$
$=x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}\Delta x+3x_{0}\Delta^{2} x+\Delta^{3}
x-x_{0}^{3}$
$=\Delta x(3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta x+\Delta^{2} x)$
*$\frac{\Delta y}{\Delta x}=3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta x+\Delta^{2} x$
*$\mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta
x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0}(3x_{0}^{2}+3x_{0}\Delta
x+\Delta^{2} x)=3x_{0}^{2}$
Vậy $f^{‘}(x_{0})=3x_{0}^{2}$
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1,-1)$ có dạng:
$y-y_{0}=f^{‘}(x_{0})(x-x_{0})$
Với $x_{0}=-1,y_{0}=-1;f^{‘}(x_{0})=f^{‘}(-1)=3$
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y+1=3(x+1)$ hay $y=3x+2$
b) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 có dạng:
$y-y_{0}=f^{‘}(x_{0})(x-x_{0})$
Với $x_{0}=2; y_{0}=x_{0}^{3}=8; f^{‘}x_{0}=f^{‘}(2)=12$
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm $y-8=12(x-2)$ hay $y=12x-16$
c) Gọi $M_{0}(x_{0},y_{0})$ là tiếp điểm.
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì hệ số góc của tiếp tuyến tại M là $k=f^{‘}(x_{0})$
Mặt khác theo giả thiết $k=3$ nên $f^{‘}(x_{0})\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}=3 \Leftrightarrow x_{0}=\pm 1$
*Với $x_{0}=1; y_{0}=f(x_{0})=1^{3}=1$ nên phương trình tiếp tuyến là:
$y-1=3(x-1)$ hay $y=3x-2$
* Với $x_{0}=-1 ; y_{0}=f(x_{0})=(-1)^{3}=-1$ nên phương trình tiếp tuyến là:
$y+1=3(x+1)$ hay $y=3x+2$
Tóm lại có 2 phương trình tiếp tuyến là $y=3x-2$ và $y=3x+2$
Trả lời