Cho hàm số \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \(\left( H \right)\). Tìm trên \(Oy\)tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới \(\left( H \right)\).

Câu hỏi:
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \(\left( H \right)\). Tìm trên \(Oy\)tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới \(\left( H \right)\).

A. \(M(0;1)\).

B. \({M_1}(0;1)\) và \({M_2}(0; – 1)\).

C. Không tồn tại.

D. \(M(0; – 1)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta gọi \(M\left( {0;a} \right)\)là điểm cần tìm. Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\)có dạng \(y = kx + a\). Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến duy nhất của \(\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = kx + a\,\,\,(1)\\\frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)có nghiệm duy nhất.

Thế \((2)\) vào \((1)\) ta có phương trình \(\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}x + a\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện \(x \ne 1\).

Ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right){x^2} – 2(a + 1)x + a + 1 = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0\,\,\,(**)\)

Yêu cầu bài toán dẫn đến phương trình \((**)\) có một nghiệm \(x \ne 1\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a \ne 1\\\Delta = 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2};a = 1\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0;a = – 1\\ – 2 \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2};a = 1\\x = 0;a = – 1\end{array} \right.\)

Vậy có hai điểm thõa mãn là \({M_1}\left( {0;1} \right)\) và \({M_2}(0; – 1)\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số