Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{2x – 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) (với \({x_0} > 1\)) là điểm thuộc \(\left( C \right)\), biết tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \({S_{\Delta OIB}} = 8{S_{\Delta OIA}}\) (trong đó \(O\) là gốc tọa độ, \(I\) là giao điểm hai tiệm cận). Tính giá trị của \(S = {x_0} + 4{y_0}.\)
A. \(S = 8\).
B. \(S = \frac{{17}}{4}\).
C. \(S = \frac{{23}}{4}\).
D. \(S = 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Tiệm cận đứng: \(x = 1{\rm{ }}\left( {{d_1}} \right)\), tiệm cận ngang: \(y = 1{\rm{ }}\left( {{d_2}} \right)\) \( \Rightarrow I\left( {1;1} \right)\).
Ta có \(y’ = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {2x – 2} \right)}^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) tại điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,{y_0}} \right)\) có dạng \(y = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {2{x_0} – 2} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} – 1}}{{2{x_0} – 2}}\)
\(A = \Delta \cap {d_1}\)\( \Rightarrow A\left( {1\,;\,\frac{{{x_0}}}{{{x_0} – 1}}} \right)\).
\(B = \Delta \cap {d_2}\)\( \Rightarrow B\left( {2{x_0} – 1\,;\,1} \right)\).
\(\overrightarrow {IB} = \left( {2{x_0} – 2\,;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {IA} = \left( {0\,;\,\frac{1}{{{x_0} – 1}}} \right)\).
Ta có \({S_{\Delta OIB}} = 8{S_{\Delta OIA}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.OI.IB.\sin \widehat {OIB} = 8.\frac{1}{2}.OI.IA.\sin \widehat {OI{\rm{A}}}\)
\( \Leftrightarrow IB = 8IA\) ( vì \(\widehat {OIB} = \widehat {OI{\rm{A}}} = {135^0}\) )
\( \Leftrightarrow \left| {2{x_0} – 2} \right| = 8\left| {\frac{1}{{{x_0} – 1}}} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} – 1} \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow {x_0} = 3\) (do \({x_0} > 1\))\( \Rightarrow {y_0} = \frac{5}{4}\)
\( \Rightarrow S = {x_0} + 4{y_0}\)\( = 3 + 4.\frac{5}{4} = 8\)
=======Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trả lời