Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x} + m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = \ln \left( {x + 1} \right)\).

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x} + m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = \ln \left( {x + 1} \right)\).

A. \(m = {\rm{e}}\).

B. \(m = 1.\)

C. \(m = – {\rm{e}}\).

D. \(m = – 1\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đồ thị hàm số \(y = {{\rm{e}}^x} + m\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = \ln \left( {x + 1} \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{e}}^x} + m = \ln \left( {x + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {{{\rm{e}}^x} + m} \right)}^\prime } = {{\left[ {\ln \left( {x + 1} \right)} \right]}^\prime }}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{e}}^x} + m = \ln \left( {x + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\rm{e}}^x} = \frac{1}{{x + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 1 \right)}\\{\left( 2 \right)}\end{array}\)

Dễ thấy rằng hàm số \(y = {{\rm{e}}^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = \frac{1}{{x + 1}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1\,;\, + \infty } \right)\) và \(x = 0\) là nghiệm của phương trình (2) nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất là \(x = 0\).

Thay \(x = 0\) vào phương trình (1) ta được \(m = – 1.\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số