Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) để có hai tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) qua \(A\left( {a\,;\,2} \right)\) với hệ số góc \({k_1}\), \({k_2}\) thỏa mãn \({k_1} + {k_2} + 10k_1^2.k_2^2 = 0\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) để có hai tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) qua \(A\left( {a\,;\,2} \right)\) với hệ số góc \({k_1}\), \({k_2}\) thỏa mãn \({k_1} + {k_2} + 10k_1^2.k_2^2 = 0\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng

A. \(7\).

B. \(\frac{7}{2}\).

C. \(\frac{{7 – \sqrt 5 }}{2}\).

D. \(\frac{{5 – \sqrt 5 }}{2}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {a\,;\,2} \right)\) với hệ số góc \(k\) có phương trình \(y = k\left( {x – a} \right) + 2\).

\(\left( d \right)\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}k\left( {x – a} \right) + 2 = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\\k = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{ – 2\left( {x – a} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} + 2 = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{x^2} – 6x + 2a + 3 = 0\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\).

Có \(2\) tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) qua \(A\) suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\2a – 2 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 3\\a \ne 1\end{array} \right.\) \(\left( * \right)\).

Hệ số góc của các tiếp tuyến là \({k_1} = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}}}\), \({k_2} = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}}\) với \({x_1}\), \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\). Ta có:

\({k_1} + {k_2} = – 2\left[ {\frac{1}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}}} \right]\)\( = – 2\left[ {\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2} – {x_1} – {x_2} + 1} \right)}^2}}}} \right]\)\( = \frac{{2a – 10}}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}\).

\({k_1}.{k_2} = \frac{4}{{{{\left[ {\left( {{x_1} – 1} \right)\left( {{x_2} – 1} \right)} \right]}^2}}}\)\( = \frac{4}{{{{\left[ {{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]}^2}}}\)\( = \frac{1}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}\).

Từ giả thiết: \({k_1} + {k_2} + 10k_1^2.k_2^2 = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{2a – 10}}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}} + \frac{{10}}{{{{\left( {a – 1} \right)}^4}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 1\\2{a^3} – 14{a^2} + 22a = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{{7 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\).

Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\) ta đươc: \(a = 0\) hoặc \(a = \frac{{7 – \sqrt 5 }}{2}\).

Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng \(\frac{{7 – \sqrt 5 }}{2}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số