Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {4\,;\,1} \right)\)?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {4\,;\,1} \right)\)?

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(3\).

D. \(0\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(y’ = \frac{{{x^2} – 6x + 5}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {{x_0}\,;\,\frac{{{x_0}^2 – {x_0} – 2}}{{{x_0} – 3}}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\) có dạng: \(y = \frac{{{x_0}^2 – 6{x_0} + 5}}{{{{\left( {{x_0} – 3} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0}^2 – {x_0} – 2}}{{{x_0} – 3}}\)

Tiếp tuyến đi qua \(A\left( {4\,;\,1} \right)\)\( \Rightarrow 1 = \frac{{{x_0}^2 – 6{x_0} + 5}}{{{{\left( {{x_0} – 3} \right)}^2}}}\left( {4 – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0}^2 – {x_0} – 2}}{{{x_0} – 3}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \ne 3\\5{x_0}^2 – 22{x_0} + 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = \frac{{17}}{5}\end{array} \right.\). Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số