Cho hai hàm số \(y = {x^2}\) (\({C_1}\)) và \(y = \sqrt {5 – {x^2}} – \frac{{41}}{{16}}\) (\({C_2}\)). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị \(\left( {{C_1}} \right),\;\,\left( {{C_2}} \right)\) có hệ số góc dương là

Câu hỏi:
Cho hai hàm số \(y = {x^2}\) (\({C_1}\)) và \(y = \sqrt {5 – {x^2}} – \frac{{41}}{{16}}\) (\({C_2}\)). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị \(\left( {{C_1}} \right),\;\,\left( {{C_2}} \right)\) có hệ số góc dương là

A. \(y = \frac{{ – 1}}{2}x – \frac{1}{{16}}\).

B. \(y = \frac{1}{4}x – \frac{1}{{16}}\).

C. \(y = \frac{{ – 1}}{4}x – \frac{1}{{16}}\).

D. \(y = \frac{1}{2}x – \frac{1}{{16}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(d\) là phương trình tiếp tuyến chung của \(\left( {{C_1}} \right),\;\,\left( {{C_2}} \right)\) và \({x_0} = a\) là hoành độ tiếp điểm của \(d\) với \(\left( {{C_1}} \right)\) thì phương trình \(d\) là

\(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} = 2a\left( {x – a} \right) + {a^2} = 2ax – {a^2}\).

\(d\) tiếp xúc với \(\left( {{C_2}} \right)\) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {5 – {x^2}} – \frac{{41}}{{16}} = 2ax – {a^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{ – x}}{{\sqrt {5 – {x^2}} }} = 2a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế (2) vào (1) ta có \(\sqrt {5 – {x^2}} – \frac{{41}}{{16}} = \frac{{ – {x^2}}}{{\sqrt {5 – {x^2}} }} – \frac{{{x^2}}}{{4(5 – {x^2})}}\). Đặt \(t = \sqrt {5 – {x^2}} \) (ĐK: \(t > 0\))

Ta có phương trình \(t – \frac{{41}}{{16}} = \frac{{{t^2} – 5}}{t} + \frac{{{t^2} – 5}}{{4{t^2}}} \Leftrightarrow 45{t^2} – 80t – 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{{ – 2}}{9}\end{array} \right.\).

Do ĐK: \(t > 0\) nên nhận \(t = 2\). Với \(t = 2\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.\), thế vào (2) ta có \(\left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\a = \frac{{ – 1}}{4}\end{array} \right.\).

Do đó \(\left( {{C_1}} \right),\;\,\left( {{C_2}} \right)\)có hai tiếp tuyến chung là \(\left[ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 1}}{2}x – \frac{1}{{16}}\\y = \frac{1}{2}x – \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\). Vậy phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị \(\left( {{C_1}} \right),\;\,\left( {{C_2}} \right)\) có hệ số góc dương là\(y = \frac{1}{2}x – \frac{1}{{16}}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số