Xét đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = {x^3} + 3ax + b\) với \(a,b\) là các số thực. Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm phân biệt thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm đó có hệ số góc bằng \(3\). Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng \(MN\)bằng \(1\). Khi đó giá trị lớn nhất của \({a^2} – {b^2}\) bằng

Câu hỏi:
Xét đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = {x^3} + 3ax + b\) với \(a,b\) là các số thực. Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm phân biệt thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm đó có hệ số góc bằng \(3\). Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng \(MN\)bằng \(1\). Khi đó giá trị lớn nhất của \({a^2} – {b^2}\) bằng

A. \(0\).

B. \(\frac{3}{2}\).

C. \( – 2\).

D. \(\frac{{ – 2}}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Giả sử \(M\left( {{x_1}\;;\;{y_1}} \right),N\left( {{x_2}\;;\;{y_2}} \right)\).

Ta có \(y’ = 3{x^2} + 3a\) suy ra \(3x_1^2 + 3a = 3x_2^2 + 3a = 3\)\( \Rightarrow \) \(x_1^2 + a = x_2^2 + a = 1\).

Mặt khác, \({y_1} = x_1^3 + 3a{x_1} + b\)\( = x_1^3 + a{x_1} + 2a{x_1} + b\)\( = {x_1}\left( {x_1^2 + a} \right) + 2a{x_1} + b\)\( = \left( {2a + 1} \right){x_1} + b\).

Tương tự \({y_2} = \left( {2a + 1} \right){x_2} + b\).

Suy ra phương trình đường thẳng \(MN\) là \(\left( {2a + 1} \right)x – y + b = 0\).

Giả thiết có \(d\left( {O,MN} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2a + 1} \right)}^2} + 1} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \) \({b^2} = 4{a^2} + 4a + 2\).

Vậy \({a^2} – {b^2} = – 3{a^2} – 4a – 2\)\( = – 3{\left( {a + \frac{2}{3}} \right)^2} – \frac{2}{3} \le \frac{{ – 2}}{3}\).

Giá trị lớn nhất của \({a^2} – {b^2}\) bằng \(\frac{{ – 2}}{3}\) khi \(a = \frac{{ – 2}}{3},b = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{3}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số