Cho hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,1} \right)\). Tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,1} \right)\). Tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng

A. \(1\).

B. \( – 1\).

C. \( – 2\).

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(y’ = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {{x_0}\,;\,\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\) có dạng: \(y = \frac{2}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}}\)

Tiếp tuyến đi qua \(A\left( {0\,;\,1} \right)\)\( \Rightarrow 1 = \frac{2}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\left( { – {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \ne – 1\\{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = – 2{x_0} + 2{x_0}\left( {{x_0} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \ne – 1\\{x_0}^2 – 2{x_0} – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1 – \sqrt 2 \\{x_0} = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Suy ra tích hệ số góc cần tìm là: \(y’\left( {1 – \sqrt 2 } \right).y’\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = \frac{2}{{{{\left( {1 – \sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}.\frac{2}{{{{\left( {1 + \sqrt 2 + 1} \right)}^2}}} = 1\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số