Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1,\) biết \({f^2}(1 + 2x) = x – {f^3}(1 – x)\) là đường thẳng nào sau đây?

Câu hỏi:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1,\) biết \({f^2}(1 + 2x) = x – {f^3}(1 – x)\) là đường thẳng nào sau đây?

A. \(3x – 7y + 6 = 0\).

B. \(x – 7y – 6 = 0\).

C. \(x + 7y + 6 = 0\).

D. \(3x + 7y + 6 = 0\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \({f^2}(1 + 2x) = x – {f^3}(1 – x) \Leftrightarrow {f^2}\left( {2x + 1} \right) + {f^3}\left( {1 – x} \right) = x\).

Đạo hàm hai vế \({f^2}\left( {2x + 1} \right) + {f^3}\left( {1 – x} \right) = x\), ta có

\(4.f\left( {2x + 1} \right).f’\left( {2x + 1} \right) – 3{f^2}\left( {1 – x} \right).f’\left( {1 – x} \right) = 1\).

Cho \(x = 0\) ta được \(4f\left( 1 \right).f’\left( 1 \right) – 3.{f^2}\left( 1 \right).f’\left( 1 \right) = 1\)\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right).f’\left( 1 \right).\left[ {4 – 3f\left( 1 \right)} \right] = 1\). \(\left( 1 \right)\)

Từ \({f^2}\left( {2x + 1} \right) + {f^3}\left( {1 – x} \right) = x\), cho \(x = 0\) ta có

\({f^2}\left( 1 \right) + {f^3}\left( 1 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) = – 1\end{array} \right.\).

Nếu \(f\left( 1 \right) = 0\) thì mâu thuẫn với \(\left( 1 \right)\), do đó \(f\left( 1 \right) = – 1\), khi đó

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow – f’\left( 1 \right).\left( {4 + 3} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow f’\left( 1 \right) = – \frac{1}{7}\).

Phương trình tiếp tuyến \(y = – \frac{1}{7}\left( {x – 1} \right) – 1\) \( \Leftrightarrow y = – \frac{1}{7}x – \frac{6}{7}\) hay \(x + 7y + 6 = 0\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số