Số tiếp tuyến chung của hai đồ thị \(\left( {{C_1}} \right):y = \frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2} + 4\)và \(\left( {{C_2}} \right):y = {x^2} + 4\) là

Câu hỏi:
Số tiếp tuyến chung của hai đồ thị \(\left( {{C_1}} \right):y = \frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2} + 4\)và \(\left( {{C_2}} \right):y = {x^2} + 4\) là

A. 0.

B. 1.

C. 4.

D. 5.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị là \(y = ax + b\), hoành độ tiếp điểm của \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)\) lần lượt là \({x_1},{x_2}\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_1}^4}}{4} – 2{x_1}^2 + 4 = a{x_1} + b\;\;\left( 1 \right)\\{x_1}^3 – 4{x_1} = a\quad \quad \quad \quad \;\;\left( 2 \right)\\{x_2}^2 + 4 = a{x_2} + b\quad \quad \quad \;\left( 3 \right)\\2{x_2} = a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\;\left( 4 \right)\end{array} \right.\).

Từ \(\left( 4 \right)\) ta có \({x_2} = \frac{a}{2}\), thế vào\(\left( 3 \right)\) suy ra \(b = 4 – \frac{{{a^2}}}{4}\quad \left( 5 \right)\). Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 5 \right)\)ta được \(b = 4 – \frac{{{{\left( {{x_1}^3 – 4{x_1}} \right)}^2}}}{4}\quad \left( 6 \right)\). Thế \(\left( 2 \right)\)và\(\left( 6 \right)\)vào\(\left( 1 \right)\)ta có \(\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^4}}{4} – 2{x_1}^2 + 4 = {x_1}\left( {{x_1}^3 – 4{x_1}} \right) + 4 – \frac{{{{\left( {{x_1}^3 – 4{x_1}} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {x_1}^2\left( { – {x_1}^2 + 8 + 4{x_1}^2 – 16 – {x_1}^4 + 8{x_1}^2 – 16} \right) = 0\\\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {x_1}^2\left( { – {x_1}^4 + 11{x_1}^2 – 24} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_1} = \pm \sqrt 3 \\{x_1} = \pm \sqrt 8 \end{array} \right.\). Thế vào \(\left( 2 \right)\)ta được 5 giá trị của \(a\)là \(a = 0\),\(a = \mp \sqrt 3 \),\(a = \pm 8\sqrt 2 \). Do vậy hai đồ thị có 5 tiếp tuyến chung.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số